重积分
1. 二重积分
二重积分在几何上有两重含义：
曲面柱体的体积
平面薄片的质量
对于函数$z=f(x,y)$，有界闭区域$D$而言：
在第一种情况下，函数$z=f(x,y)$代表曲面柱形的顶面。
第二种情况下，函数$z=g(x,y)$代表平面薄片的线密度。
二重积分的表达式为：
$\iint_Df(x,y)dxdy$
其中有界闭区域$D=dxdy$，叫做直角坐标系的面积元素。
2.二重积分的性质
① 两个函数之和的二重积分等于两个函数的二重积分之和
② 二重积分中的常数项可提取到积分号外面
③ $\iint_D1\cdot d\sigma=\iint_D d\sigma$
④ 若在$D$上，有$f(x,y)\leq g(x,y)$，则： $\iint_Df(x,y)d\sigma\leq\iint_Dg(x,y)d\sigma$
⑤ $|\iint_Df(x,y)d\sigma|\leq_D|f(x,y)|d\sigma$
⑥ 若在$D$上，有：$\leq f(x,y)\leq M$ 则：$m\sigma\leq\iint_D f(x,y)d\sigma\leq M\sigma$
⑦ 二重积分的中值定理：设函数$f(x,y)在闭区域$D$上连续，$$\sigma$是$D$的面积，则$D$上至少存在一点$(\xi,\eta)$，使得： $\iint_D f(x,y)d\sigma = f(\xi,\eta)\sigma$
3.二重积分的解法
二重积分在解法上分为两种。分别适用于X型积分区域D和Y型积分区域D：
X型区域：
$\iint_Df(x,y)d\sigma=\int_a^bdx\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(x,y)dy$
其中，$a\leq x\leq b,\phi_1(x)\leq y\leq\phi_2(x)$
Y型区域：
$\iint_Df(x,y)d\sigma=\int_c^ddy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)dx$
其中，$c\leq y\leq d,\psi_1(y)\leq y \leq\psi_2(x)$
总结来说
X型区域先对y进行积分，在对x进行积分；而Y型区域先对x进行积分，再对y进行积分。
4.积分区域选取的原则
[x] 优先选取可积分的区域
[x] 若X型和Y型均可积分，则优先选取简单的积分区域
[x] 若X型和Y型积分难度相似，则优先选取分割次数少的积分区域
附注：不可积分函数
$e^{ax^2}$
$\frac{\sin x}{x}$
$\frac{x^n}{\ln x}$
$\sin x^2$
以上函数的积分结果是
超越积分，也就是非初等函数积分。