数量级、向量积和混合积的求解及其几何意义

一、数量级

​ 数量级即点乘，两个向量点乘后积为数量。

​ $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta}​$

二、向量积

​ 向量积即叉乘，向量积的结果依然是向量。

​ 若$\vec{a}=(a,b,c),\vec{b}=(x,y,z)$

​ $\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix} a&b&c \ x&y&z \end{vmatrix}=(bz-cy,cx-az,ay-bx)$

​ 向量积得到的新向量垂直于$\vec{a}$和$\vec{b}$

向量积在面积中的应用

​ 若平行四边形的两个边的向量分别是$\vec{a}$和$\vec{b}$，则平行四边形的面积$S=\vec{a}\times\vec{b}$

混合积及其几何意义

​ 已知三个向量，先做两个向量的向量积，再做向量的数量积。得到的值称为混合积。

​ $[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}$

​ 三个向量共面的充要条件是他们的混合积为零。