函数、极限和连续

考点

1. 理解函数的概念， 掌握 函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.

2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.

3. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.

4. 掌握 基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.

5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.

6. 掌握 极限的性质及四则运算法则.

7. 掌握 极限存在的两个准则,并会利用它们求极限, 掌握 利用两个重要极限求极限的方法.

8. 理解无穷小量、无穷大量的概念， 掌握 无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.

9. 理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.

10. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质.

对于这一部分而言，重点内容为：

求极限

对于极限而言，常见的题型为：

1. 函数的极限

   考察七种不定式，七种 \(\frac{0}{0}\) 和 \(1^{\infty}\) 是重点内容

   • 对于 \(\frac{0}{0}\) 型极限而言，主要有三种方法：

     1. 洛必达

     2. 等价无穷小替换

     3. 泰勒公式

     当出现 变限积分 时，可以使用：

     1. 洛必达法则

     2. 积分中值定理

     3. 使用 \(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1\) 则 \(\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(g(x))dx\)

   • 对于 \(1^{\infty}\) 型极限而言，主要有以下方法：

     1. 凑重要极限

     2. 改写称洛必达法则

     3. 使用三部曲：\(\left\{\begin{array}{l} 1. \text{写成标准型}: \lim[1+\alpha(x)]^{\beta (x)} \\ 2. \text{求} \lim\alpha(x)\beta(x)=A\\ 3. \text{原式的极限} = e^A \end{array}\right.\)

2. 数列的极限

   • 不定式

   • \(n\) 项和的数列极限

   • 由递推关系定义的数列（重点）

     设递归关系 \(x_1=a, x_{n+1}=f(x_n)(m=1,2,3\cdots)\) 定义的数列：

     常用方法：

     1. 先证明 \({x_n}\) 收敛（单调有界准则），然后等式 \(x_{n+1}=f(x_n)\) 两端取极限得 \(A=f(A)\) ，由此求得极限 \(A\)

     2. 先令 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=A\) ，然后等式两端取极限得到 \(A\) ，最后证明 \(\lim\limits_{n\to\infty}=A\)

     单调性常用的三种方法：

     1. \(x_{n+1}-x_n\geq 0(\leq 0)\)

     2. 若 \({x_n}\) 不变号，且 \(\frac{x_{n+1}}{n}\geq 1(\leq 1)\)

     3. 设数列 \({x_n}\) 由 \(x_1=a, x_{n+1}=f(x_n)(n=1,2,3,\cdots)\) 所确定 #. 若 \(f(x)\) 单调增，则 \(x_1\leq x_2\) 时， \({x_n}\) 单调增加，否则单调减 #. 若 \(f(x)\) 单调减，则 \({x_n}\) 不单调

求极限的常用方法：

1. 利用基本极限求极限

2. 利用有理运算法则求极限

3. 利用等价无穷小求极限

4. 利用洛必达求极限（数列不能直接用，需要将 \(n\) 替换为 \(x\to\infty\) ）

5. 利用泰勒公式求极限

6. 利用夹逼准则求极限

7. 利用定积分的定义求极限（适用于数列）

8. 利用单调有界求极限

9. 利用拉格朗日中值定理求极限

无穷小阶的比较

间断点及其类型

函数

首先对函数而言，定义域 和 对应法则 定义了一个函数的全部内容，如果两个函数的定义域和对应法则都相同，那么这两个函数就是相同的。

函数的特性

• 有界性

• 单调性

• 奇偶性

• 周期性

备注

对于 狄利克雷 函数而言，任何有理数都是它的周期，因此不存在最小正周期

反函数

当函数本身是一个单射（ \(x\) 和 \(y\) 是一一对应的）时，函数 \(f(x)=y\) 存在一个反函数 \(f^{-1}(y)=x\) 。原本的函数称为反函数的 直接函数 。直接函数与反函数关于直线 \(y=x\) 对称。

初等函数

幂函数（ \(x^a\) ）、指数函数（ \(a^x\) ）、对数函数、三角函数和反三角函数称为 基本初等函数 。

常用不等式：

\begin{align} &x-1<[x]\leq x \end{align}

数列

若当 \(n\to\infty\) 时存在极限，即：\(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a\) 则称数列为 收敛数列

收敛数列有以下性质：

1. 数列收敛是数列有界的 充分条件

2. 收敛数列的极限有且 唯一

3. 若数列的极限 \(a>0\) ，则当 \(n\to\infty\) 时，必有 \(x_n>0\) 。小于亦然

4. 若自某项起，收敛数列 \(x_n>=0\) ，则数列的极限 \(a>=0\) 。小于亦然

5. 收敛数列的任意子数列也收敛于 \(a\)

若数列 \(x_n\) 的 所有 子数列都收敛于 \(a\) ，那么 \(x_n\) 也收敛于 \(a\) 。

重要

第三条性质被称为 收敛数列的保号性 。注意与第四条性质做对比。等号仅且仅能在第四条出现，第三条万万不能出现等号。

函数极限

函数的极限在以下情况下必定存在：

1. 函数的左右极限存在且相等

2. （夹逼定理）若在某去心邻域中， \(g(x)\leq f(x)\leq h(x)\) 且 \(\lim g(x) = \lim h(x) =A\) ，则 \(\lim f(x)=A\)

3. 单调有界必有极限

函数极限的性质：

1. 若函数在某去心邻域中存在极限，则极限唯一

2. 若函数在某去心邻域中存在极限，则函数在此邻域有界

3. 若 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\) ，且 \(A>0\) 。则当 \(x\to x_0\) 时，必有 \(f(x)>0\) 。小于亦然

4. 若函数在某去心邻域中 \(f(x)\geq 0\) 则 \(A\geq 0\) 。小于亦然

5. 和差积商的函数的极限等于极限的和差积商（注意分母不得为零）

6. 若函数在某去心邻域中总有 \(f(x)\ge g(x)\) ，且 \(\lim f(x)=A, \lim g(x)=B\) 则有 \(A\ge B\)

根据第五条性质，可以有以下推论：

1. \(\lim[cf(x)]=c\lim f(x)\)

2. \(\lim[f(x)]^n=[\lim f(x)]^n\)

3. \(\lim\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{\lim P(x)}{\lim Q(x)}\)

无穷小和无穷大

定义：

1. 若 \(\lim\frac{\beta}{\alpha}=0\) ，则称 \(\beta\) 是 \(\alpha\) 的高阶无穷小。记作 \(\beta = o(\alpha)\)

2. 若 \(\lim\frac{\beta}{\alpha}=1\) ，则称 \(\beta\) 是 \(\alpha\) 的等价无穷小。记作 \(\alpha \sim \beta\)

性质：

1. \(\beta\) 与 \(\alpha\) 是 等价无穷小 的充要条件是： \(\beta=\alpha+o(\alpha)\)

2. 在 \(x\to x_0\) 的过程中。函数有极限的充要条件是 \(f(x)=A+\alpha\) 其中 \(\alpha\) 是关于 \(\Delta x\) 的等价无穷小

3. 有限 个无穷小的和/积依然是无穷小

4. 有界函数与无穷小的积依然是无穷小

对于第二条性质而言，在 \(x\to x_0\) 的过程中， \(\alpha\) 的不断减小的，直至当 \(x=x_0\) 时， \(\alpha\) 减小到 0

重要

由于无穷大分为 \(-\infty\) 和 \(+\infty\) ，故有限的无穷大的和不一定依然是无穷大

重要的极限和无穷小

极限

1. \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\)

2. \(\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\)

常用的等价无穷小

\begin{align} &\ln(1+x) \sim x \space&(x\to 0) \\ &e^x-1 \sim x \space&(x\to 0) \\ &e^x-1-x \sim \frac{1}{2}x^2 \space&(x\to 0) \\ &(1+x)^{\alpha}-1 \sim \alpha x \space&(x\to 0) \\ &1-\cos^{\alpha}x \sim \frac{\alpha}{2}x^2 \space&(x\to 0) \\ &\tan x-x \sim \frac{1}{3}x^3 \space&(x\to 0) \\ &\tan x-\sin x \sim \frac{1}{2}x^3 \space&(x\to 0) \\ &x-\sin x \sim \frac{1}{6}x^3 \space&(x\to 0) \\ &x-\arcsin x \sim \frac{1}{6}x^3 \space&(x\to 0) \\ &x-\arctan x \sim -\frac{1}{3}x^3 \space&(x\to 0) \\ &x-\ln(1+x) \sim \frac{1}{2}x^2 \space&(x\to 0) \\ &a^x-1 \sim x\ln a \space&(x\to 0) \end{align}

此外，还有

\begin{align} &\sqrt{1+x^2} \sim x \space&(x\to\infty) \end{align}

备注

若要在减法中使用等价无穷小代换，则需要 \(\alpha\sim\alpha_1, \space\beta\sim\beta_1\) ，满足 \(\lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq 1\)

在一些情况下，我们需要主动去发现一个等价无穷小，例如：

\[\begin{split}& \lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+x+\frac{f(x)}{x})}{x}=3 \\ \because & \lim\limits_{x\to 0}\ln(1+x+\frac{f(x)}{x})=0 \\ \therefore & x+\frac{f(x)}{x} = 0 \\ \therefore & \ln(1+x+\frac{f(x)}{x}) \sim x + \frac{f(x)}{x} \\ \therefore & \text{原式}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x}(x+\frac{f(x)}{x})=0 \\ \therefore & \lim\limits_{x\to 0}1+\frac{f(x)}{x^2}=3\end{split}\]

函数的连续性和间断性

1. 设函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某一邻域有定义，若 \(\lim\limits_{x\to x_0}=f(x_0)\) ，则 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 连续

2. 若 \(\lim\limits_{x\to x_0} y\neq \infty\) ，则 \(f(x)\) 在该点连续。

在区间上每一点都连续的函数，则认为函数在此区间上是连续函数。若函数在靠近区间任一点上都不会趋向于无穷大，则认为该函数在此区间上 一致性连续

性质：

1. 若函数在 \(x_0\) 点连续，则他们的 和差积商 都在 \(x_0\) 点连续。

2. 若函数在区间 \(I_x\) 上单调递增且连续，则它的反函数也在区间上 \(I_x\) 上单调递增且连续。（递减亦如此）

3. 设 \(u=g(x)\) 和 \(y=f(u)\) 。在 \(x_0\) 的去心邻域上，若 \(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=u_0\) 而 \(y=f(u)\) 在 \(u_0\) 处连续，则有： \(\lim\limits_{x\to x_0}f[g(x)]=f[\lim\limits_{x\to x_0}g(x)]\)

4. 基本初等函数在其定义域内是连续的

5. 初等函数在其 定义区间 内是连续的

间断点：

有理分式的拆解

下面介绍使用 留数定理 快速拆解有理分式的方式：

现在有有理分式 \(\frac{1}{(x-1)(x-2)}\) ，将其拆分后可以得到 \(\frac{a}{x-1}, \frac{b}{x-2}\) 的形式，其中

• \(a = \frac{1}{\bcancel{(x-1)}(x-2)}=-1, \space x-1=0\)

• \(b = \frac{1}{(x-1)\bcancel{(x-2)}}=1, \space x-2=0\)

因此，有理式拆解之后的形式为 \(\frac{-1}{x-1}+\frac{1}{x-2}\)

对于高阶多项式而言，例如 \(\frac{1}{(x-1)^2(x-2)}\) ，将其拆分后得到 \(\frac{a}{x-1}+\frac{b}{(x-1)^2}+\frac{c}{x-2}\)

• \(b=\frac{1}{\bcancel{(x-1)^2}(x-2)}, \space (x-1)^2=0\)

• \(c=\frac{1}{(x-1)^2\bcancel{(x-2)}}, \space x-2=0\)

\(a\) 可是将任意一个数代入后得到，需要注意的是：令 \((x-1)^2=0\) 求得的系数是 2 次幂的系数，其他阶同理