向量代数和解析空间几何
考试要求
理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示.
掌握 向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)了解两个向量垂直、平行的条件
理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握 用坐标表达式进行向量运算的方法
掌握 平面方程和直线方程及其求法
会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角,并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题
会求点到直线以及点到平面的距离
了解曲面方程和空间曲线方程的概念
了解常用二次曲面的方程及其图形,会求简单的柱面和旋转曲面的方程
了解空间曲线的参数方程和一般方程,了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求该投影曲线的方程
向量及其运算
与 \(\vec{a}\) 模相同而方向相反的向量叫做 \(\vec{a}\) 的 负向量
设向量 \(\vec{r}=(x,y,z)\) ，则 \(\left|\vec{r}\right|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\) ，其方向角为：
且 \(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\)
向量在 \(x\) 轴上的投影为： \(\vec{r}\cdot\cos\alpha\) （ \(\alpha\) 是 \(\vec{r}\) 与 \(x\) 轴的夹角）
- 数量积:
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\cos\theta\)
- 向量积:
\(\left|\boldsymbol a\times \boldsymbol b\right|=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\sin\alpha\)
- 混合积:
\([\boldsymbol{abc}] = \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}\)
向量积得到的三个向量两两垂直
三个向量共面的充要条件是其 混合积 为零
备注
数量积代表的是以两向量为边的平行四边形的面积；混合积代表的是平行六面体的体积。
平面的方程
- 平面的点法式方程:；
设有点 \(M(x_0,y_0,z_0)\) 和平面的法向量 \(n(A,B,C)\) ，则平面的方程为： \(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\)
- 平面的截距式方程:
设平面在坐标轴上的截距依次为 \(a,b,c\) ，则平面的方程为： \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\)
- 两平面的夹角:
设两个平面的 法 向量分别为 \(\boldsymbol{n_1}, \boldsymbol{n_2}\) ，则有： \(\cos\alpha=\frac{\boldsymbol{n_1}\times\boldsymbol{n_2}}{\left|\boldsymbol{n_1}\right|\left|\boldsymbol{n_2}\right|}\)
- 空间直线的对称式方程:
假设 \(\boldsymbol{s}\) 是直线的 方向向量 ， \(M(x_0,y_0, z_0)\) 是直线上一点，则空间直线的对称式方程为：
\[\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}\]备注
当 \(m,n,p\) 中一个为零时，例如 \(m=0\) ，而 \(n,p\neq 0\) 时，应理解为：
\[\begin{split}\left\{\begin{array}{l} x-x_0=0\\ \frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} \end{array}\right.\end{split}\]- 空间直线的参数方程:
将对称式方程等于 \(t\) ，化简可得空间直线的参数方程：
\[\begin{split}\left\{\begin{array}{l} x=x_0+mt\\ y=y_0+nt\\ z=z_0+pt \end{array}\right.\end{split}\]- 两直线的夹角:
设两直线的 方向向量 分别为 \(s_1,s_2\) ，则两直线的夹角为：
\[\cos\varphi=\frac{\left|\boldsymbol{s_1}\cdot\boldsymbol{s_2}\right|}{\left|\boldsymbol{s_1}\right|\left|\boldsymbol{s_2}\right|}\]- 直线与平面的夹角:
设直线的方向向量为 \(\boldsymbol{s}\) ，平面的法向量为 \(\boldsymbol{n}\) ，则直线与平面的夹角为：
\[\sin\varphi=\frac{\left|\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{n}\right|}{\left|\boldsymbol{s}\cdot\boldsymbol{n}\right|}\]