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向量代数和解析空间几何
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.. highlights::

   考试要求

   #. 理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示.
   #. **掌握** 向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)了解两个向量垂直、平行的条件
   #. 理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，**掌握** 用坐标表达式进行向量运算的方法
   #. **掌握** 平面方程和直线方程及其求法
   #. 会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角,并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题
   #. 会求点到直线以及点到平面的距离
   #. 了解曲面方程和空间曲线方程的概念
   #. 了解常用二次曲面的方程及其图形,会求简单的柱面和旋转曲面的方程
   #. 了解空间曲线的参数方程和一般方程,了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求该投影曲线的方程

向量及其运算
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- 与 :math:`\vec{a}` 模相同而方向相反的向量叫做 :math:`\vec{a}` 的 **负向量**

设向量 :math:`\vec{r}=(x,y,z)` ，则 :math:`\left|\vec{r}\right|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}` ，其方向角为：

.. math::

   (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)=(\frac{x}{\left|\vec{r}\right|}, \frac{y}{\left|\vec{r}\right|}, \frac{z}{\left|\vec{r}\right|})

且 :math:`\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1`

向量在 :math:`x` 轴上的投影为： :math:`\vec{r}\cdot\cos\alpha` （ :math:`\alpha` 是 :math:`\vec{r}` 与 :math:`x` 轴的夹角）

数量积:
   :math:`\vec{a}\cdot\vec{b}=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\cos\theta`

向量积:
   :math:`\left|\boldsymbol a\times \boldsymbol b\right|=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\sin\alpha`

混合积:
   :math:`[\boldsymbol{abc}] = \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}`

- 向量积得到的三个向量两两垂直
- 三个向量共面的充要条件是其 **混合积** 为零

.. note::

   数量积代表的是以两向量为边的平行四边形的面积；混合积代表的是平行六面体的体积。

平面的方程
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平面的点法式方程:；
   设有点 :math:`M(x_0,y_0,z_0)` 和平面的法向量 :math:`n(A,B,C)` ，则平面的方程为： :math:`A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0`

平面的截距式方程:
   设平面在坐标轴上的截距依次为 :math:`a,b,c` ，则平面的方程为： :math:`\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1`

两平面的夹角:
   设两个平面的 **法** 向量分别为 :math:`\boldsymbol{n_1}, \boldsymbol{n_2}` ，则有： :math:`\cos\alpha=\frac{\boldsymbol{n_1}\times\boldsymbol{n_2}}{\left|\boldsymbol{n_1}\right|\left|\boldsymbol{n_2}\right|}`

空间直线的对称式方程:
   假设 :math:`\boldsymbol{s}` 是直线的 **方向向量** ， :math:`M(x_0,y_0, z_0)` 是直线上一点，则空间直线的对称式方程为：

   .. math::

      \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}

   .. note::

      当 :math:`m,n,p` 中一个为零时，例如 :math:`m=0` ，而 :math:`n,p\neq 0` 时，应理解为：

      .. math::

         \left\{\begin{array}{l}
             x-x_0=0\\
             \frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}
         \end{array}\right.

空间直线的参数方程:
   将对称式方程等于 :math:`t` ，化简可得空间直线的参数方程：

   .. math::

      \left\{\begin{array}{l}
         x=x_0+mt\\
         y=y_0+nt\\
         z=z_0+pt
      \end{array}\right.

两直线的夹角:
   设两直线的 **方向向量** 分别为 :math:`s_1,s_2` ，则两直线的夹角为：

   .. math::

      \cos\varphi=\frac{\left|\boldsymbol{s_1}\cdot\boldsymbol{s_2}\right|}{\left|\boldsymbol{s_1}\right|\left|\boldsymbol{s_2}\right|}

直线与平面的夹角:
   设直线的方向向量为 :math:`\boldsymbol{s}` ，平面的法向量为 :math:`\boldsymbol{n}` ，则直线与平面的夹角为：

   .. math::

      \sin\varphi=\frac{\left|\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{n}\right|}{\left|\boldsymbol{s}\cdot\boldsymbol{n}\right|}