导数和微分

导数

导数题型

一般求函数的导数时，对于分段函数来说，应当注意函数的左右极限：

\begin{align} &\text{设} f(x)= \left\{\begin{array}{lc} \frac{2}{3}x^3, & x\leq 1 \\ x^2, & x>1 \end{array}\right. \text{则} f(x) \text{在} x=1 \text{处的（）}\\ \\ &\text{(A) 左右导数都存在}\\ &\text{(B) 左导数存在但右导数不存在} \\ &\text{(C) 左导数不存在但右导数存在} \\ &\text{(D) 左右导数都不存在} \\ \\ & \text{解1. } \\ & f^{\prime}_-(1)=\lim\limits_{x\to 1^-}\frac{\frac{2}{3}x^3-\frac{2}{3}}{x-1}=\frac{2}{3}\lim\limits_{x\to 1_-}\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}=2\\ & f^{\prime}_+(1)=\lim\limits_{x\to 1^+}\frac{x^2-\frac{2}{3}}{x-1}=\infty\\ \\ & \text{解2. } \\ & f^{\prime}_-(1)=(\frac{2}{3}x^3)^{\prime}|_{x=1} = 2\\ & \lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=1\neq f(x)=\frac{2}{3} \Rightarrow f^{\prime}_+(1) \text{不存在} \end{align}

此题需要注意的是：由于分段函数第二个函数 \(x^2\) 在 \(x=1\) 处函数值与极限并不相等，故该点不存在极限

微分

曲线的凹凸性

拐点

重要

拐点是曲线上的一个点，是笛卡尔坐标系下的一个 坐标点 。因此， 拐点的形式是 \((x_0, y_0)\) ，而不是 \(x=x_0\)

曲线的渐近线

• 若 \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A(\lim\limits_{x\to -\infty}, \text{或} \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=A )\) 则 \(y=A\) 是曲线 \(y=f(x)\) 的水平渐近线

  当函数逼近正无穷和负无穷的时候可以分别有一条渐近线，故一条曲线最多可以有两条渐近线。（比如 \(y=\arctan x\) ）

• 若 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty\) ，那么 \(x=x_0\) 是 \(y=f(x)\) 的垂直渐近线

  一条曲线可以有无穷多条渐近线（一般而言，分母为 0 的点就是垂直渐近线可疑的点，比如 \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\) ）

• 若 \(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=a, b=\lim\limits_{x\to\infty}(f(x)-ax)\) ，那么 \(y=ax+b\) 是 \(y=f(x)\) 的斜渐近线。

  一个函数可以既有水平渐近线也有斜渐近线 （比如 \(y=e^x\) 在 \(-\infty\) 有水平渐近线，在 \(+\infty\) 有斜渐近线）。但是在 \(-\infty\) 或 \(+\infty\) 单侧只会有水平渐近线或斜渐近线。

曲率的弧微分和曲率

• 曲率： \(K=\frac{|y^n|}{(1+y^{\prime 2})^{\frac{3}{2}}}\)

• 曲率半径 : \(R=\frac{1}{K}\)