导数和微分
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导数
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导数题型
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一般求函数的导数时，对于分段函数来说，应当注意函数的左右极限：

.. math::
   :nowrap:

   \begin{align}
      &\text{设} f(x)=
         \left\{\begin{array}{lc}
            \frac{2}{3}x^3, & x\leq 1 \\
            x^2, & x>1
         \end{array}\right.
      \text{则} f(x) \text{在} x=1 \text{处的（）}\\
      \\
      &\text{(A) 左右导数都存在}\\
      &\text{(B) 左导数存在但右导数不存在} \\
      &\text{(C) 左导数不存在但右导数存在} \\
      &\text{(D) 左右导数都不存在} \\
      \\
      & \text{解1. } \\
      & f^{\prime}_-(1)=\lim\limits_{x\to 1^-}\frac{\frac{2}{3}x^3-\frac{2}{3}}{x-1}=\frac{2}{3}\lim\limits_{x\to 1_-}\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}=2\\
      & f^{\prime}_+(1)=\lim\limits_{x\to 1^+}\frac{x^2-\frac{2}{3}}{x-1}=\infty\\
      \\
      & \text{解2. } \\
      & f^{\prime}_-(1)=(\frac{2}{3}x^3)^{\prime}|_{x=1} = 2\\
      & \lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=1\neq f(x)=\frac{2}{3} \Rightarrow f^{\prime}_+(1) \text{不存在}
   \end{align}

此题需要注意的是：由于分段函数第二个函数 :math:`x^2` 在 :math:`x=1` 处函数值与极限并不相等，故该点不存在极限

微分
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曲线的凹凸性
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拐点

.. important::

   拐点是曲线上的一个点，是笛卡尔坐标系下的一个 ``坐标点`` 。因此， 拐点的形式是 :math:`(x_0, y_0)` ，而不是 :math:`x=x_0`

曲线的渐近线
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- 若 :math:`\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A(\lim\limits_{x\to -\infty}, \text{或} \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=A )` 则 :math:`y=A` 是曲线 :math:`y=f(x)` 的水平渐近线

   当函数逼近正无穷和负无穷的时候可以分别有一条渐近线，故一条曲线最多可以有两条渐近线。（比如 :math:`y=\arctan x` ）

- 若 :math:`\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty` ，那么 :math:`x=x_0` 是 :math:`y=f(x)` 的垂直渐近线

   一条曲线可以有无穷多条渐近线（一般而言，分母为 0 的点就是垂直渐近线可疑的点，比如 :math:`\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}` ）

- 若 :math:`\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=a, b=\lim\limits_{x\to\infty}(f(x)-ax)` ，那么 :math:`y=ax+b` 是 :math:`y=f(x)` 的斜渐近线。

   一个函数可以既有水平渐近线也有斜渐近线 （比如 :math:`y=e^x` 在 :math:`-\infty` 有水平渐近线，在 :math:`+\infty` 有斜渐近线）。但是在 :math:`-\infty` 或 :math:`+\infty` 单侧只会有水平渐近线或斜渐近线。

曲率的弧微分和曲率
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- 曲率： :math:`K=\frac{|y^n|}{(1+y^{\prime 2})^{\frac{3}{2}}}`
- 曲率半径 : :math:`R=\frac{1}{K}`