随机变量的数字特征

随机变量的数学期望和方差

离散型随机变量的数学期望:

设随机变量 \(X\) 的概率分布为 \(P\{X=x_k\}=p_k,k=1,2,\cdots\) 。如果级数 \(\sum\limits_{k=1}^{+\infty}x_kp_k\) 绝对收敛，则称此级数为随机变量 \(X\) 的数学期望或均值，记作 \(E(X)\) ，即 \(E(X)=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}x_kp_k\)

连续型随机变量的数学期望:

设随机变量 \(X\) 的概率分布为 \(f(x)\) ，则其数学期望为 \(E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\)

数学期望的性质:

• 设 \(C\) 为常数， \(E(C)=C\)

• 设 \(X\) 是随机变量， \(C\) 为常数，则 \(E(CX)=CE(X)\)

• \(E(X\pm Y)=E(X)\pm E(Y)\)

• 设 \(X,Y\) 相互独立，则 \(E(XY)=E(X)E(Y)\)

随机变量 \(X\) 的函数 \(Y-g(X)\) 的数学期望:

• 设随机变量 \(X\) 的概率分布为 \(P\{X=x_k\},k=1,2,\cdots\) 如果级数 \(\sum\limits_{k=1}^{+\infty}g(x_k)p_k\) 绝对收敛，则随机变量 \(Y=g(X)\) 的数学期望为 \(E(X)=E[g(x)]=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}g(x_k)p_k\)

• 设随机变量 \(X\) 的概率密度为 \(f(x)\) ，如果积分 \(\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx\) 绝对收敛，则随机变量 \(Y=g(X)\) 的数学期望为 \(E(Y)=E[g(x)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx\)

随机变量 \((X,Y)\) 和函数 \(Z=g(X,Y)\) 的数学期望:

• 设随机变量 \((X,Y)\) 的概率分布为 \(P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij},i,j=1,2,\cdots\) ，则随机变量 \(Z\) 的数学期望为 \(E(Z)=E[g(X,Y)]\sum\limits_{i=1}^{+\infty}\sum\limits_{j=1}^{+\infty}g(x_i,y_i)p_{ij}\)

• 设随机变量 \((X,Y)\) 的概率密度为 \(f(x,y)\) ，如果积分 \(\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy\) 绝对收敛，则随机变量 \(Z=g(X,Y)\) 的数学期望为 \(E(Z)=E[g(X,Y)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy\)

方差：

设 \(X\) 是随机变量，如果数学期望 \(E\{[X-E(x)]^2\}\) 存在，则称之为 \(X\) 的方差，记作 \(D(X)\) ，即 \(D(X)=E\{[X-E(X)]^2\}\) 称 \(\sqrt{D(X)}\) 为随机变量 \(X\) 的标准差或均方差，记作 \(\sigma(X)\) ，即 \(\sigma=\sqrt{D(X)}\)

计算公式为 \(D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\)

方差的性质:

• \(D(C)=0\) ，反之则不然

• \(D(aX+b)=a^2D(X)\)

• 设随机变量 \(X,Y\) 互相独立，则 \(D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\)

常用随机变量的数学期望和方差

分布	期望	方差
0-1 分布	\(p\)	\(p(1-p)\)
二项分布 \(X\sim B(n,p)\)	\(np\)	\(np(1-p)\)
泊松分布 \(X\sim P(\lambda)\)	\(\lambda\)	\(\lambda\)
几何分布 \(P\{X=k\}=p(1-p)^{k-1},k=1,2,\cdots,0<p<1\)	\(\frac{1}{p}\)	\(\frac{1-p}{p^2}\)
均匀分布 \(X\sim U(a,b)\)	\(\frac{a+b}{2}\)	\(\frac{(b-a)^2}{12}\)
指数分布 \(X\sim E(\lambda)\)	\(\frac{1}{\lambda}\)	\(\frac{1}{\lambda^2}\)
正态分布 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)	\(\mu\)	\(\sigma^2\)

矩、协方差和相关系数

这里跳过，参见 P514