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随机变量的数字特征
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随机变量的数学期望和方差
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离散型随机变量的数学期望:
   设随机变量 :math:`X` 的概率分布为 :math:`P\{X=x_k\}=p_k,k=1,2,\cdots` 。如果级数 :math:`\sum\limits_{k=1}^{+\infty}x_kp_k` 绝对收敛，则称此级数为随机变量 :math:`X` 的数学期望或均值，记作 :math:`E(X)` ，即 :math:`E(X)=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}x_kp_k`

连续型随机变量的数学期望:
   设随机变量 :math:`X` 的概率分布为 :math:`f(x)` ，则其数学期望为 :math:`E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx`

数学期望的性质:
   - 设 :math:`C` 为常数， :math:`E(C)=C`
   - 设 :math:`X` 是随机变量， :math:`C` 为常数，则 :math:`E(CX)=CE(X)`
   - :math:`E(X\pm Y)=E(X)\pm E(Y)`
   - 设 :math:`X,Y` 相互独立，则 :math:`E(XY)=E(X)E(Y)`

随机变量 :math:`X` 的函数 :math:`Y-g(X)` 的数学期望:
   - 设随机变量 :math:`X` 的概率分布为 :math:`P\{X=x_k\},k=1,2,\cdots` 如果级数 :math:`\sum\limits_{k=1}^{+\infty}g(x_k)p_k` 绝对收敛，则随机变量 :math:`Y=g(X)` 的数学期望为 :math:`E(X)=E[g(x)]=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}g(x_k)p_k`
   - 设随机变量 :math:`X` 的概率密度为 :math:`f(x)` ，如果积分 :math:`\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx` 绝对收敛，则随机变量 :math:`Y=g(X)` 的数学期望为 :math:`E(Y)=E[g(x)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx`

随机变量 :math:`(X,Y)` 和函数 :math:`Z=g(X,Y)` 的数学期望:
   - 设随机变量 :math:`(X,Y)` 的概率分布为 :math:`P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij},i,j=1,2,\cdots` ，则随机变量 :math:`Z` 的数学期望为 :math:`E(Z)=E[g(X,Y)]\sum\limits_{i=1}^{+\infty}\sum\limits_{j=1}^{+\infty}g(x_i,y_i)p_{ij}`
   - 设随机变量 :math:`(X,Y)` 的概率密度为 :math:`f(x,y)` ，如果积分 :math:`\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy` 绝对收敛，则随机变量 :math:`Z=g(X,Y)` 的数学期望为 :math:`E(Z)=E[g(X,Y)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy`

方差：
   设 :math:`X` 是随机变量，如果数学期望 :math:`E\{[X-E(x)]^2\}` 存在，则称之为 :math:`X` 的方差，记作 :math:`D(X)` ，即 :math:`D(X)=E\{[X-E(X)]^2\}` 称 :math:`\sqrt{D(X)}` 为随机变量 :math:`X` 的标准差或均方差，记作 :math:`\sigma(X)` ，即 :math:`\sigma=\sqrt{D(X)}`

   计算公式为 :math:`D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2`

方差的性质:
   - :math:`D(C)=0` ，反之则不然
   - :math:`D(aX+b)=a^2D(X)`
   - 设随机变量 :math:`X,Y` 互相独立，则 :math:`D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)`

常用随机变量的数学期望和方差

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分布                                                      期望                      方差
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0-1 分布                                                  :math:`p`                 :math:`p(1-p)`
二项分布 :math:`X\sim B(n,p)`                             :math:`np`                :math:`np(1-p)`
泊松分布 :math:`X\sim P(\lambda)`                         :math:`\lambda`           :math:`\lambda`
几何分布 :math:`P\{X=k\}=p(1-p)^{k-1},k=1,2,\cdots,0<p<1` :math:`\frac{1}{p}`       :math:`\frac{1-p}{p^2}`
均匀分布 :math:`X\sim U(a,b)`                             :math:`\frac{a+b}{2}`     :math:`\frac{(b-a)^2}{12}`
指数分布 :math:`X\sim E(\lambda)`                         :math:`\frac{1}{\lambda}` :math:`\frac{1}{\lambda^2}`
正态分布 :math:`X\sim N(\mu,\sigma^2)`                    :math:`\mu`               :math:`\sigma^2`
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矩、协方差和相关系数
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这里跳过，参见 P514