多元函数积分学
理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质,了解二重积分的中值定理.
掌握 二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)
理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.
掌握 计算两类曲线积分的方法.
掌握 格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数.
了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系， 掌握 计算两类曲面积分的方法， 掌握 用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分.
了解散度与旋度的概念,并会计算.
会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等).
二重积分
二重积分的一般形式为 \(\iint\limits_Df(x,y)d\sigma\) 。
当二重积分用来计算 曲顶柱体 的体积时， \(f(x,y)\) 代表 \(z\) 的大小， \(D\) 代表 \(x,y\) 围成的面积。
当二重积分用来计算 平面薄片的质量 时， \(f(x,y)\) 代表薄片上某点的质量，而 \(D\) 代表平面薄片的面积
根据 \(D\) 所处的坐标系不同，可以将二重积分的计算分为：
直角坐标系下的二重积分
直角坐标系下将 \(D\) 分为两种类型： \(X\) 型和 \(Y\) 型。 \(X\) 积分区域代表做垂直于 \(X\) 轴的直线，其与积分区域的边界最多不交于两点， \(Y\) 型区域同理。
对于 \(X\) 型区域而言， \(\iint\limits_Df(x,y)d\sigma=\int_a^b[\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy]dx\)
极坐标下的二重积分
对于极坐标而言，其计算公式为：
\[\iint\limits_Df(x,y)dxdy=\iint\limits_Df(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho d\theta\]
三重积分
三重积分的一般形式为 \(\iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)dv\) 。三重积分可用于计算物体的质量，则 \(\Omega\) 代表物体的体积， \(f(x,y,z)\) 在物体某点的质量。
根据计算方式的不同，三重积分可以划分为：
直角坐标系下的二重积分
可化为二重积分的三重积分
如果一个三重积分可以拆分为一个对 \(z\) 的积分和对 \(x,y\) 围成的面积的积分，而则面积很好求，就可以将三重积分拆分为一个二重积分。即：
\[\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z)dv=\int_{c_1}^{c_2}dz\iint\limits_{D_z}f(x,y,z)dxdy\]其中， \(\Omega=\{(x,y,z)|(x,y)\in D_z, c_1\leq z\leq c_2\}\)
柱坐标系下的三重积分
对于柱面坐标而言，点 \(M\) 的直角坐标与柱面坐标的关系为：
\[\begin{split}\left\{\begin{array}{l} x=\rho\cos\theta\\ y=\rho\sin\theta\\ z=z \end{array}\right.\end{split}\]且 \(dv=\rho d\rho d\theta dz\)
球坐标系下的三重积分
对于球面坐标而言，直角坐标与其的对应关系为：
\[\begin{split}\left\{\begin{array}{l} x=r\sin\varphi\cos\theta\\ y=r\sin\varphi\sin\theta\\ z=r\cos\varphi \end{array}\right.\end{split}\]
曲面的面积
对于曲面而言，将其投影到 \(xoy\) 面再计算面积，有以下公式：
曲线积分
曲线积分有两种：
对弧长的曲线积分：适用于求曲线部件的质量
假设曲线的方程为 \(\left\{\begin{array}{l} x=\varphi(t)\\ y=\phi(t) \end{array}\right. \space (\alpha\leq t\leq\beta)\)
则：
\[\int_L f(x,y)ds=\int_{\alpha}^{\beta}f[\varphi(t), \psi(t)]\sqrt{\varphi^2(t)+\phi^2(t)}dt \space (\alpha <\beta)\]重要
此处积分的下限一定要小于上限，即 \(\alpha<\beta\)
对坐标的曲线积分：适用于求力沿曲线路径做的工
假设曲线的方程为 \(\left\{\begin{array}{l} x=\varphi(t)\\ y=\phi(t) \end{array}\right. \space (\alpha\leq t\leq\beta)\)
\[\int_LP(x,y)+Q(x,y)dy=\int_{\alpha}^{\beta}P[\varphi(t),\phi(t)]d\varphi(t)+Q[\varphi(t),\phi(t)]d\psi(t)\]备注
对坐标的曲线积分，积分结果与积分路径有关
两类曲线积分的联系： \(\int_rPdx+Qdy+Rdz=\int_r(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)ds\)
- 格林公式:
设闭区域 \(D\) 由分段光滑的曲线 \(L\) 围成，若函数 \(P(x)\) 及 \(Q(x)\) 在 \(D\) 上具有一阶连续偏导数，则 \(\iint\limits_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial Q}{\partial y})dxdy=\oint\limits_LPdx+Qdy\) 。 \(L\) 是取向为正向的边界曲线。
上述右侧曲线积分与路径无关的 充要条件 是 \(P_y=Q_x\)