一元函数积分学
理解原函数的概念,理解不定积分和定积分的概念.
掌握 不定积分的基本公式， 掌握 不定积分和定积分的性质及定积分中值定理， 掌握 换元积分法与分部积分法.
会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.
理解积分上限的函数,会求它的导数, 掌握 牛顿-莱布尼茨公式.
理解反常积分的概念,了解反常积分收敛的比较判别法,会计算反常积分.
掌握 用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值.
不定积分
若有函数 \(F(x)^{\prime}=f(x)\) ，则称 \(F(x)\) 为 \(f(x)\) 的 原函数 ，称 \(f(x)\) 为 \(f(x)\) 的 导函数 。
- 原函数存在定理:
连续函数必有原函数
在区间 I 上，函数 \(f(x)\) 的 带有任意常数项的原函数称为 \(f(x)\) 在区间 I 上的不定积分。记作:
其中 \(\int\) 称为 积分号 ， \(f(x)\) 称为 被积函数 ， \(f(x)dx\) 称为 被积表达式 ， \(x\) 称为 积分变量
不定积分的计算
基本积分表
重要
注意原函数是带有一个常数 C 的！
第一类换元积分法
假设被导函数 \(f(x)\) 可以表示为： \(f(x)=f([\varphi(x)])\varphi^{\prime}(x)\) ，则有：
当求三角函数构成的函数的原函数时，有以下结论：
对于 \(\sin^{2k+1}x\cos^nx\) 或 \(\sin^n\cos^{2k+1}x\) （ \(k\) 为不小于零的整数） 型函数的积分，一般可令 \(u=\cos x\) 或 \(u=\sin x\) 。
对于 \(\sin^{2k}\cos^{2l}x\) （ \(k, l\) 为不小于零的整数），可利用 \(\sin^2 x=\frac{1}{2}(1-\cos 2x), \cos^2x=\frac{1}{2}(1+\cos 2x)\) 化为 \(\cos 2x\) 的多项式。（参见 P198 例 15）
对于 \(\tan^nx\sec^{2k}x\) 或 \(\tan^{2k-1}\sec^n x\) （ \(n, k\) 为正整数）型函数的积分，一般可令 \(u=\tan x\) 或 \(u=\sec x\) 。
第二类换元积分法
与第一类换元法相比，第二类换元法将 \(x\) 替换为一个参数 \(t\) ，以尝试消去根号等运算符。
使用第二类换元法时，有以下常用结论：
若被积函数中含有 \(\sqrt{a^2-x^2}\) 可以做代换 \(x=a\sin t\) 消去根号；如果被积函数中含有 \(\sqrt{x^2+a^2}\) ，可以做代换 \(x=\pm a\sec t\) 消去根号。
当分母中 \(x\) 的次幂比分支的高时，为了将其变为 有理函数 还可以利用 \(t=\frac{1}{x}\) 进行 倒代换 。
提示
当被积函数中含有 \(\sqrt{x^2\pm a^2}\) 时，为了消去根号，还可以使用 \(ch^2 t-sh^2 t=1\)
分部积分法
分部积分常有以下结论：
若被积函数是幂函数与正（余）弦函数的乘积；或幂函数和指数的乘积，就可以设幂函数为 \(u\) 。这样，每用一次分部积分，幂函数的幂次降低一次。
若被积函数是幂函数和对数函数的乘积；或幂函数和反三角函数的乘积，就可以设对数函数或反三角函数为 \(u\) 。
若被积函数是指数函数和三角函数的乘积，则指数函数和三角函数都可以被设为 \(u\) ，但是两次分部积分的 \(u\) 要一致。（P211 例七）
有理函数的积分
有理函数一般是将假分式化为真分式之和再进行计算，其用到以下结论：
对于真分式 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) ，若分母可以分解为两个多项式的乘积 \(Q_1(x), Q_2(x)\) ，且这两个多项式没有公因式，则它 必定 可以拆分为两个多项式之和。
如果被积函数中含有 \(\sqrt[n]{ax+b}\) 或者 \(\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\) ，则可以直接设此根式为 \(u\) 。
定积分
假设函数在区间 \([a,b]\) 上有界，将 \([a, b]\) 分成若干个小区间，每个小区间的长度依次是 \(\Delta x_1, \Delta x_2,\cdots,\Delta x_n\) ，在每个小区间内取点 \(\xi\) ， 则 \(\int_a^b f(x)dx=\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{b}f(\xi_i)\Delta x_i\) 。 其中 \(\lambda\) 是各个小区间中长度最大的那个。
备注
定积分 \(\int_a^b f(x)dx\) 表示的是函数在 \(x\) 轴上方面积与下方面积之差。
由定义式可知，定积分是一个 和式极限
严格的来说，定积分属于积分学内容，不定积分属于微分学内容
定积分有以下定理：
若函数在闭区间上连续，则可积
若函数在闭区间上有界，且只有有限的间断点，则可积
设 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 均为常数，则 \(\int_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha\int_a^b f(x)dx+\beta\int_a^b g(x)dx\)
\(\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)+\int_c^b f(x)dx\) 。此处 \(a, b, c\) 的大小关系是任意的。
设 \(M\) 及 \(m\) 分别是函数在区间上的最大值和最小值，则： \(m(b-a)\leq \int_a^b f(x)dx\leq M(b-a)\space(a<b)\)
若函数在区间上连续，则在区间内至少存在一点 \(\xi\) 使 \(\int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a)\space(a\leq\xi\leq b)\)
若函数 \(F(x)\) 是连续函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的一个原函数，则 \(\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)\)
定积分的中值定理:
\(\int_a^bf(x)g(x)dx=f(\xi)\int_a^bg(x)dx\)
\(\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)\)
定积分的中值定理可用于在求极限时去掉积分号。在去积分号的时候要求 \(\lim f(\xi)=A\neq 0\)
- 以下情况下函数一定可积：
闭区间上的连续函数
闭区间上的单调函数
闭区间上有界且只有有限个间断点的函数
备注
闭区间上的无界函数一定是不可积的
- 以下情况下函数一定存在原函数：
闭区间上的连续函数
- 以下情况下函数一定不存在原函数：
有第一类间断点
有无穷间断点（在该点有定义）
变限积分
若被积函数可积，则变限积分 \(F(x)=\int_a^xf(t)dt\) 一定存在
- 若被积函数可积，则变限积分一定连续
备注
由上述可知，变限积分必定连续
如果被积函数可积，则变限积分一定可导，而且 \(F^{\prime}(x)=f(x)\)
重要
若 \(f(x)\) 只有一个可去间断点，则 \(f(x)\) 依然可导，但 \(F(x)\) 的导函数不再是 \(f(x)\) ，而是 \(f(x)\) 将可去间断点补齐后的函数 \(h(x)\) ，而且， \(f(x)\) 没有原函数
若 \(f(x)\) 有一个跳跃间断点（其余点均连续），则 \(F(x)\) 在 \(x=x_0\) 不可导，而且 \(f(x)\) 没有原函数
如果 \(f(x)\) 是奇函数，则变限积分为偶函数；若被积函数为奇函数，则 \(\int_0^xf(t)dt\) 为奇函数
若被积函数的周期为 \(T\) ，原函数周期也为 \(T\) 的充要条件为 \(\int_0^Tf(x)dx=0\)
变限积分的导数
\(\frac{d}{dx}(\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt)=f[\varphi(x)]\varphi^{\prime}(x)-f[\psi(x)]\psi^{\prime}(x)\)
\(\frac{d}{dx}(\int_a^{\varphi(x)}g(x)f(t)dt)=\frac{d}{dx}(g(x)\int_a^{\varphi(x)}f(t)dt)\)
\(\frac{d}{dx}(\int_a^{\varphi(x)}f[g(x,t)]dt)\) :
这种情况下需要做变量替换：令 \(u=g(x,t), x = \eta(u,x)\) ，则： \(\frac{d}{dx}(\int_a^{\varphi(x)}f[g(x,t)]dt)=\int_{g(x,a)}^{g(x,\varphi(x))}f(u)d(\eta(u,x))\)
- 在求极限的过程中，我们经常会碰到含有变限积分的式子，这时不要怕，仔细观察会发现极限满足洛必达法则，这时候直接上下同时求导就行了。例如：
- \[\lim\limits_{x\to 0}\frac{\int_0^{x-\sin x \ln(1+t)dt}}{x^6}\]
这时仔细观察会发现：当 \(x\to 0\) 时，变限积分的结果为零， \(x^n\) 亦如此，此时直接使用洛必达进行求解
变限积分的阶
在无穷小阶的比较中，出现变限积分的时候可以利用下述方法快速求得变限积分的阶：
假设有变限积分 \(\int_0^{\varphi(x)}f(t)dt\) ，其中 \(\varphi(x)\) 的阶为 \(n\) ， \(f(t)\) 的阶为 \(m\) ，则变限积分总的阶为 \((m+1)\times n\)
这个本质上是因为对 \(f(x)\) 求原函数后阶数加一，然后代入上限后就变成了 \((m+1)\times n\)
定积分的换元法
若函数 \(f(x）\) 在区间 \([a,b]\) 上连续，函数 \(x=\varphi(t)\) 满足条件：
\(\varphi(\alpha)=a, \varphi(\beta)=b\)
\(\varphi(t)\) 在 \([a,b]\) 上具有连续导数
则有： \(\int_a^b f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f[\varphi(t)]\varphi^{\prime}(t)dt\)
反常积分
反常积分主要有两种形式：
- 无穷限的反常积分:
积分区间的一端（或两端）趋向于无穷大，则称为函数在无穷区间上的反常积分
\(\int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim\limits_{t\to +\infty}\int_a^t f(x)dx=\lim\limits_{x\to +\infty}F(x)-F(a)\)
若极限 \(\lim\limits_{x\to +\infty}F(x)\) 存在，则称反常积分是收敛的，否则是发散的。
- 无界函数的反常积分:
若函数 \(f(x)\) 在点 \(a\) 的任一邻域内都无界，则成点 \(a\) 为 瑕点 ，称此积分为 无界函数的反常积分 或者 瑕积分 。
设函数在 \((a,b]\) 上连续，点 \(a\) 为瑕点，则有：