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一元函数积分学
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.. highlights::

   #. 理解原函数的概念,理解不定积分和定积分的概念.
   #.  **掌握** 不定积分的基本公式， **掌握** 不定积分和定积分的性质及定积分中值定理， **掌握** 换元积分法与分部积分法.
   #. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.
   #. 理解积分上限的函数,会求它的导数, **掌握** 牛顿-莱布尼茨公式.
   #. 理解反常积分的概念,了解反常积分收敛的比较判别法,会计算反常积分.
   #.  **掌握** 用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值.

不定积分
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若有函数 :math:`F(x)^{\prime}=f(x)` ，则称 :math:`F(x)` 为 :math:`f(x)` 的 *原函数* ，称 :math:`f(x)` 为 :math:`f(x)` 的 *导函数* 。

原函数存在定理:
   连续函数必有原函数

在区间 **I** 上，函数 :math:`f(x)` 的 **带有任意常数项的原函数称为** :math:`f(x)` 在区间 *I* 上的不定积分。记作:

.. math::

   \int f(x)dx

其中 :math:`\int` 称为 *积分号* ， :math:`f(x)` 称为 *被积函数* ， :math:`f(x)dx` 称为 *被积表达式* ， :math:`x` 称为 *积分变量*

不定积分的计算
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基本积分表
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.. math::

   \begin{aligned}
      &1. \int kdx                       &=&\space kx+C\\
      &2. \int x^{\mu}dx                 &=&\space \frac{x^{\mu +1}}{\mu +1}+C\space( \mu \neq -1) \\
      &3. \int\frac{dx}{x}               &=&\space \ln |x| +C   \\
      &4. \int\frac{dx}{1+x^2}           &=&\space \arctan x+C\\
      &5. \int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}    &=&\space \arcsin x+C \\
      &6. \int\cos xdx                   &=&\space \sin x+C \\
      &7. \int\sin xdx                   &=&\space -\cos x+C\\
      &8. \int\frac{dx}{\cos^2x}         &=&\space \int\sec^2xdx=\tan x+C\\
      &9. \int\frac{dx}{\sin^2x}         &=&\space \int\csc^2xdx=-\cot x+C\\
      &10. \int\sec x\tan x dx           &=&\space \sec x+C\\
      &11. \int\csc x\cot x dx           &=&\space -\csc x+C\\
      &12. \int e^xdx                    &=&\space e^x+C\\
      &13. \int a^xdx                    &=&\space \frac{a^x}{\ln a}+C\\
      &16. \int\tan xdx                  &=&\space -\ln|\cos x|+C\\
      &17. \int\cot xdx                  &=&\space \ln|\sin x|+C\\
      &18. \int\sec xdx                  &=&\space \ln|\sec x+\tan x|+C\\
      &19. \int\csc xdx                  &=&\space \ln|\csc x+\cot x|+C=\ln\left|\tan\frac{x}{2}\right|+C\\
      &20. \int\frac{dx}{a^2+x^2}        &=&\space \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C\\
      &21. \int\frac{dx}{x^2-a^2}        &=&\space \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C\\
      &22. \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} &=&\space \arcsin\frac{x}{a}+C\\
      &23. \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} &=&\space \ln(x+\sqrt{x^2+a^2}+C)\\
      &24. \int\frac{dx}{x^2-a^2}        &=&\space \ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+C
   \end{aligned}

.. important::

   注意原函数是带有一个常数 **C** 的！

第一类换元积分法
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假设被导函数 :math:`f(x)` 可以表示为： :math:`f(x)=f([\varphi(x)])\varphi^{\prime}(x)` ，则有：

.. math::

   \int f(x)=\int f([\varphi(x)])\varphi^{\prime}(x)dx=[\int f(u)du]_{u=\varphi(x)}

当求三角函数构成的函数的原函数时，有以下结论：

#. 对于 :math:`\sin^{2k+1}x\cos^nx` 或 :math:`\sin^n\cos^{2k+1}x` （ :math:`k` 为不小于零的整数） 型函数的积分，一般可令 :math:`u=\cos x` 或 :math:`u=\sin x` 。
#. 对于 :math:`\sin^{2k}\cos^{2l}x` （ :math:`k, l` 为不小于零的整数），可利用 :math:`\sin^2 x=\frac{1}{2}(1-\cos 2x), \cos^2x=\frac{1}{2}(1+\cos 2x)`  化为 :math:`\cos 2x` 的多项式。（参见 P198 例 15）
#. 对于 :math:`\tan^nx\sec^{2k}x` 或 :math:`\tan^{2k-1}\sec^n x` （ :math:`n, k` 为正整数）型函数的积分，一般可令 :math:`u=\tan x` 或 :math:`u=\sec x` 。

第二类换元积分法
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与第一类换元法相比，第二类换元法将 :math:`x` 替换为一个参数 :math:`t` ，以尝试消去根号等运算符。

使用第二类换元法时，有以下常用结论：

#. 若被积函数中含有 :math:`\sqrt{a^2-x^2}` 可以做代换 :math:`x=a\sin t` 消去根号；如果被积函数中含有 :math:`\sqrt{x^2+a^2}` ，可以做代换 :math:`x=\pm a\sec t` 消去根号。
#. 当分母中 :math:`x` 的次幂比分支的高时，为了将其变为 **有理函数** 还可以利用 :math:`t=\frac{1}{x}` 进行 *倒代换* 。

.. hint::

   当被积函数中含有 :math:`\sqrt{x^2\pm a^2}` 时，为了消去根号，还可以使用 :math:`ch^2 t-sh^2 t=1`

分部积分法
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分部积分常有以下结论：

#. 若被积函数是幂函数与正（余）弦函数的乘积；或幂函数和指数的乘积，就可以设幂函数为 :math:`u` 。这样，每用一次分部积分，幂函数的幂次降低一次。
#. 若被积函数是幂函数和对数函数的乘积；或幂函数和反三角函数的乘积，就可以设对数函数或反三角函数为 :math:`u` 。
#. 若被积函数是指数函数和三角函数的乘积，则指数函数和三角函数都可以被设为 :math:`u` ，但是两次分部积分的 :math:`u` 要一致。（P211 例七）

有理函数的积分
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有理函数一般是将假分式化为真分式之和再进行计算，其用到以下结论：

#. 对于真分式 :math:`\frac{P(x)}{Q(x)}` ，若分母可以分解为两个多项式的乘积 :math:`Q_1(x), Q_2(x)` ，且这两个多项式没有公因式，则它 **必定** 可以拆分为两个多项式之和。
#. 如果被积函数中含有 :math:`\sqrt[n]{ax+b}` 或者 :math:`\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}` ，则可以直接设此根式为 :math:`u` 。

定积分
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假设函数在区间 :math:`[a,b]` 上有界，将 :math:`[a, b]` 分成若干个小区间，每个小区间的长度依次是 :math:`\Delta x_1, \Delta x_2,\cdots,\Delta x_n` ，在每个小区间内取点 :math:`\xi` ， 则 :math:`\int_a^b f(x)dx=\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{b}f(\xi_i)\Delta x_i` 。 其中 :math:`\lambda` 是各个小区间中长度最大的那个。

.. note::

   - 定积分 :math:`\int_a^b f(x)dx` 表示的是函数在 :math:`x` 轴上方面积与下方面积之差。
   - 由定义式可知，定积分是一个 **和式极限**
   - 严格的来说，定积分属于积分学内容，不定积分属于微分学内容

定积分有以下定理：

#. 若函数在闭区间上连续，则可积
#. 若函数在闭区间上有界，且只有有限的间断点，则可积
#. 设 :math:`\alpha` 和 :math:`\beta` 均为常数，则 :math:`\int_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha\int_a^b f(x)dx+\beta\int_a^b g(x)dx`
#. :math:`\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)+\int_c^b f(x)dx` 。此处 :math:`a, b, c` 的大小关系是任意的。
#. 设 :math:`M` 及 :math:`m` 分别是函数在区间上的最大值和最小值，则： :math:`m(b-a)\leq \int_a^b f(x)dx\leq M(b-a)\space(a<b)`
#. 若函数在区间上连续，则在区间内至少存在一点 :math:`\xi` 使 :math:`\int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a)\space(a\leq\xi\leq b)`
#. 若函数 :math:`F(x)` 是连续函数 :math:`f(x)` 在 :math:`[a,b]` 上的一个原函数，则 :math:`\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)`


定积分的中值定理:

   #. :math:`\int_a^bf(x)g(x)dx=f(\xi)\int_a^bg(x)dx`
   #. :math:`\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)`

定积分的中值定理可用于在求极限时去掉积分号。在去积分号的时候要求 :math:`\lim f(\xi)=A\neq 0`

以下情况下函数一定可积：
   - 闭区间上的连续函数
   - 闭区间上的单调函数
   - 闭区间上有界且只有有限个间断点的函数

   .. note::

      闭区间上的无界函数一定是不可积的

以下情况下函数一定存在原函数：
   - 闭区间上的连续函数

以下情况下函数一定不存在原函数：
   - 有第一类间断点
   - 有无穷间断点（在该点有定义）

变限积分
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- 若被积函数可积，则变限积分 :math:`F(x)=\int_a^xf(t)dt` 一定存在
- 若被积函数可积，则变限积分一定连续
   .. note::

      由上述可知，变限积分必定连续

- 如果被积函数可积，则变限积分一定可导，而且 :math:`F^{\prime}(x)=f(x)`

.. important::

   - 若 :math:`f(x)` 只有一个可去间断点，则 :math:`f(x)` 依然可导，但 :math:`F(x)` 的导函数不再是 :math:`f(x)` ，而是 :math:`f(x)` 将可去间断点补齐后的函数 :math:`h(x)` ，而且， :math:`f(x)` 没有原函数
   - 若 :math:`f(x)` 有一个跳跃间断点（其余点均连续），则 :math:`F(x)` 在 :math:`x=x_0` 不可导，而且 :math:`f(x)` 没有原函数

- 如果 :math:`f(x)` 是奇函数，则变限积分为偶函数；若被积函数为奇函数，则 :math:`\int_0^xf(t)dt` 为奇函数
- 若被积函数的周期为 :math:`T` ，原函数周期也为 :math:`T` 的充要条件为 :math:`\int_0^Tf(x)dx=0`

变限积分的导数
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1. :math:`\frac{d}{dx}(\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt)=f[\varphi(x)]\varphi^{\prime}(x)-f[\psi(x)]\psi^{\prime}(x)`
2. :math:`\frac{d}{dx}(\int_a^{\varphi(x)}g(x)f(t)dt)=\frac{d}{dx}(g(x)\int_a^{\varphi(x)}f(t)dt)`
3. :math:`\frac{d}{dx}(\int_a^{\varphi(x)}f[g(x,t)]dt)` :

   这种情况下需要做变量替换：令 :math:`u=g(x,t), x = \eta(u,x)` ，则： :math:`\frac{d}{dx}(\int_a^{\varphi(x)}f[g(x,t)]dt)=\int_{g(x,a)}^{g(x,\varphi(x))}f(u)d(\eta(u,x))`

在求极限的过程中，我们经常会碰到含有变限积分的式子，这时不要怕，仔细观察会发现极限满足洛必达法则，这时候直接上下同时求导就行了。例如：
   .. math::

      \lim\limits_{x\to 0}\frac{\int_0^{x-\sin x \ln(1+t)dt}}{x^6}

这时仔细观察会发现：当 :math:`x\to 0` 时，变限积分的结果为零， :math:`x^n` 亦如此，此时直接使用洛必达进行求解

变限积分的阶
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在无穷小阶的比较中，出现变限积分的时候可以利用下述方法快速求得变限积分的阶：

假设有变限积分 :math:`\int_0^{\varphi(x)}f(t)dt` ，其中 :math:`\varphi(x)` 的阶为 :math:`n` ， :math:`f(t)` 的阶为 :math:`m` ，则变限积分总的阶为 :math:`(m+1)\times n`

这个本质上是因为对 :math:`f(x)` 求原函数后阶数加一，然后代入上限后就变成了 :math:`(m+1)\times n`

定积分的换元法
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若函数 :math:`f(x）` 在区间 :math:`[a,b]` 上连续，函数 :math:`x=\varphi(t)` 满足条件：

1. :math:`\varphi(\alpha)=a, \varphi(\beta)=b`
2. :math:`\varphi(t)` 在 :math:`[a,b]` 上具有连续导数

则有： :math:`\int_a^b f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f[\varphi(t)]\varphi^{\prime}(t)dt`

反常积分
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反常积分主要有两种形式：

无穷限的反常积分:
   积分区间的一端（或两端）趋向于无穷大，则称为函数在无穷区间上的反常积分

:math:`\int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim\limits_{t\to +\infty}\int_a^t f(x)dx=\lim\limits_{x\to +\infty}F(x)-F(a)`

若极限 :math:`\lim\limits_{x\to +\infty}F(x)` 存在，则称反常积分是收敛的，否则是发散的。

无界函数的反常积分:
   若函数 :math:`f(x)` 在点 :math:`a` 的任一邻域内都无界，则成点 :math:`a` 为 *瑕点* ，称此积分为 **无界函数的反常积分** 或者 **瑕积分** 。

设函数在 :math:`(a,b]` 上连续，点 :math:`a` 为瑕点，则有：

.. math::

   \int_a^b f(x)dx=\lim\limits_{t\to a^+}f(x)dx=F(b)-\lim\limits_{x\to a^+}F(x)=F(b)-F(a^+)