第十一章曲线积分和曲面积分

一、对弧长的曲线积分

设对于曲线$L$，其线密度由函数$f(x,y)$确定，则曲线$L$的质量的表达式被称为第一类曲线积分，即：

$\int_Lf(x,y)ds$

其中，$f(x,y)$被称为被积函数，$L$被称为积分弧段。

性质

$\int_L[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]=\alpha\int_L f(x,y)ds+\beta\int_Lg(x,y)ds$
$\int_Lf(x,y)ds=\int_{L_1}f(x,y)ds+\int_{L_2}f(x,y)ds$
若在$L$上有$f(x,y)\leq g(x,y)$,则$\int_Lf(x,y)ds\leq\int_L g(x,y)ds$

第一类曲线积分的解法

若积分弧段的参数方程为：

$\left{\begin{array}{c}x=\phi(t)\y=\psi(t)\end{array}\right.　　(\alpha\leq t\leq\beta)$

则：

$\int_Lf(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f[\phi(t),\psi(t)]\sqrt{\phi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)}dt　　 (\alpha < \beta)$
若积分弧段的方程为：$y=\psi(x) (x_0\leq x\leq X)$

则可将该方程转化为参数方程：

$\left{\begin{array}{c}x=t\y=\psi(t)\end{array}\right. (x_0\leq t\leq X)$

则：

$\int_Lf(x,y)ds=\int_{x_0}^Xf[x,\psi(x)]\sqrt{1+\psi^{\prime 2}(x)}dx 　　(x_0<X)$

类似，若方程为$x=\phi(y) (y_0\leq y\leq Y)$

则：

$\int_Lf(x,y)ds=\int_{y_0}^Yf[\phi(y),y]\sqrt{1+\phi^{\prime 2}(y)}dy　　(y_0<Y)$
若空间曲线$\Gamma$的参数方程为：

$\left{\begin{array}{c}x=\phi(t)\y=\psi(t)\z=\omega(t)\end{array}\right.　(\alpha\leq t\leq\beta)$

则：

$\int_Lf(x,y,z)ds=\int_\alpha^\beta f[\phi(t),\psi(t),\omega(t)]\sqrt{\phi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)+\omega^{\prime 2}(t)}dt　(\alpha <\beta)$

二、对坐标的曲线积分

设质点在$xOy$平面内受变力$\vec F(x,y)=P(x,y)\vec i+Q(x,y)\vec j$的作用，沿弧线$L$的$A$端移动到$B$端。则变力$F$对质点做的功叫做第二类曲线积分，记做$\int_LP(x,y)dy$即：

$\left{\begin{array}{c}\int_LP(x,y)dx\\int_LQ(x,y)dy\end{array}\right.$

性质

$\int_L[\alpha\vec F_1(x,y)+\beta\vec F_2(x,y)]\cdot d\vec r\=\alpha\int_L\vec F_1(x,y)\cdot d\vec r+\beta\int_L\vec F_2(x,y)\cdot d\vec r$
$\int_L\vec F(x,y)\cdot d\vec r=\int_{L_1}\vec F_1(x,y)\cdot d\vec r+\int_{L_2}\vec F(x,y)\cdot d\vec r$
设$L$为光滑曲线弧，$L^-$是$L$的反向曲线弧，则：

$\int_L\vec F(x,y)\cdot d\vec r=-\int_{L^-}\vec F(x,y)\cdot d\vec r$

注意：当积分弧段的方向改变时，对坐标的曲线积分要改变符号。

第二类曲线积分的解法

1. 若曲线$L$的参数方程为：

$\left{\begin{array}{c}x=\varphi(t)\y=\phi(t)\end{array}\right.\qquad t\in [\alpha,\beta]$

注意：$\alpha$可以大于$\beta$

则坐标的曲线积分：

$\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy\=\int_{\alpha}^{\beta}{P[\varphi(t),\psi(t)]\varphi^{\prime}(t)+Q[\varphi(t)+\psi(t)]\psi^{\prime}(x,y)}dt$

若曲线$L$的方程为$y=\psi(x)$时：

$\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy\=\int_a^b{P[x,\psi(x,y)]+Q[x,\psi(x,y)]\psi^{\prime}(x,y)}dx$

三、两类曲线积分之间的联系

设曲线$L$的曲线方程为：

$\left{\begin{array}{c}x=\varphi(t)，\y=\psi(t)\end{array}\right.$

其方向余弦分别为：$\cos\alpha、\cos\beta$

则：$\cos\alpha=\frac{\varphi^{\prime}(t)}{\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)}}\\cos\beta=\frac{\psi^{\prime}(t)}{\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)}}$

则：

$\int_LPdx+Qdy=\int_L(P\cos\alpha+Q\cos\beta)ds$

相当于$dx=ds\cdot \cos\alpha,dy=ds\cdot\cos\beta$

即：将$ds$投影到坐标轴上

四、格林公式

格林公式表述了：平面闭区域$D$上的二重积分等于$D$的边界曲线$L$的曲线积分。

@startmindmap
* 连通域
** 在区域D中，任意两点都可以通过D内部的曲线连接起来
** 单连通域
*** 指不含有“洞”的连通域
** 复连通域
*** 含有“洞”的连通域
@endmindmap

对于区域D的边界曲线L的方向：当观察者沿L的方向行走时，区域D总在他的左边。

格林公式

设平面闭区域$D$的边界曲线为$L$，且$L=\left{\begin{array}{c}P(x,y)\Q(x,y)\end{array}\right.$，则平面区域$D$的二重积分：

$\iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\oint_L Pdx+Qdy$

格林公式的使用条件

函数$P(x,y)、Q(x,y)$在平面闭区域$D$内有一阶偏导数。
闭区域$D$为单连通域。

五、曲线积分与路径无关的条件

设区域$G$是一个单连通域，若曲线$L=\left{\begin{array}{c}P(x,y)\Q(x,y)\end{array}\right.$在$G$内具有一阶偏导数，则$L$的曲线积分与路径无关的充要条件为：

$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$

在$G$内恒成立。

六、二元函数的全微分

设区域$G$是一个单连通集，若函数$P(x,y)、Q(x,y)$在$G$内具有一阶连续偏导，则$P(x,y)dx+Q(x,y)dy$在$G$内为某一函数$u(x,y)$的全微分的充要条件为：