极限

自变量趋向于有限值的极限

定义： \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\)

\(\forall\epsilon >0\) ,当 \(0 < |x-x_0|\) 时，恒有 \(|f(x)-A| < \epsilon\)

重要

这里 \(x \to x_0\), 但是 \(x \neq x_0\) 。并且要求 \(x\) 在在去心邻域中除了极限点外，处处有定义 。

比如：

\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\sin{(x\sin{\frac{1}{x}}})}{x\sin{\frac{1}{x}}}\) 是没有极限的，因为在零点的去心邻域中，除了零点外，总是有未定义点（\(x\sin{\frac{1}{x}} = 0\) 的点，即 \(x = \frac{1}{k\pi}\) ）

备注

在自变量趋向于有限值时，应当按照以下步骤求解：

1. 查看函数的左右极限

2. 将无穷大通过倒数转换为无穷小

例如对于 \(\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^3+2x^2}{(x-2)^2}\) ：

左极限： \(\lim\limits_{x\to 2^+}\frac{(x-2)^2}{x^3+2x^2} = 0^+\)

右极限： \(\lim\limits_{x\to 2^-}\frac{(x-2)^2}{x^3+2x^2} = 0^+\)

故： \(\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^3+2x^2}{(x-2)^2}=+\infty\)

左极限和右极限

1. 分段函数在分界点的极限

2. \(e^{\infty}\) 型的极限 （例如 \(\lim\limits_{x\to 0}e^{\frac{1}{x}}, \lim\limits_{x\to 0}e^x, \lim\limits_{x\to 0}e^{-x}\) ）

备注

对于 \(\lim\limits_{x\to 0}e^{\frac{1}{x}}\) 而言，其左极限 \(\lim\limits_{x\to 0^+}e^{\frac{1}{x}} = +\infty\) 而 \(\lim\limits_{x\to 0^-}e^{\frac{1}{x}} = 0\)

3. \(\arctan{\infty}\) 型极限（例如 \(\lim\limits_{x\to 0}, \lim\limits_{x\to \infty}\arctan{x}\) ）

重要

一般而言，在一下情境下分左右极限进行讨论：

• 分段函数分段点

• 左右极限有区别（比如 \(e^{-\infty} = 0, e^{+\infty = \infty}\) ）

极限存在的条件

1. 子数列的定义域的并集为整个数列的定义域，且子数列的极限相等

2. 充要条件：当 \(x_0\) 的左右极限存在且相等时， \(x_0\) 点的极限存在

对于第一条来说，以 \(2k\) 和 \(2k+1\) 为例，其分别为奇数列和偶数列，当且仅当奇数列和偶数列的极限相等时，整个函数才存在极限

极限的性质

1. 有界性：

   1. 若数列收敛，那么数列有极限

   2. 若 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\) 存在，那么 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的去心邻域中有界

2. 保号性 1. 若数列的极限大于零，则存在 \(N>0\) ，当 \(n>N\) 时， \(x_n>0\) 2. 若存在 \(N>0\) ，当 \(n>N\) 时， \(x_n\ge 0\) ，则数列的极限 \(A\ge 0\) 。

   备注

   第一条不得带等号，第二条必须带等号

   3. 函数的保号性与数列的相同

3. 极限与无穷小的关系

   \(\lim f(x) = A \Leftrightarrow f(x) = A + \alpha(x)\) ，其中 \(\lim \alpha(x) = 0\)

极限的存在准则

1. 夹逼准则

   若存在 \(N\) ，当 \(n>N\) 时， \(x_n\leq y_n \leq z_n\) ，且 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n = \lim\limits_{n\to\infty}z_n = a\) ，则 \(\lim\limits_{n\to\infty}y_n = a\) 。

2. 单调有界必有极限

备注

夹逼准则更多用于 \(n\) 项和的数列中，而第二条更多的用于递推关系定义的极限中。

无穷小、无穷大和无界变量

无穷小的性质

1. 有限个 无穷小的和依然是无穷小

2. 有限个 无穷小的积依然是无穷小

3. 无穷小与有界变量的乘积依然是无穷小

无穷大的性质

1. 有限个 无穷大的积依然是无穷大

2. 无穷大与有界变量的和依然是无穷大

备注

由于无穷大分为 \(+\infty\) 和 \(-\infty\) ，故，有限个无穷大的和不一定是无穷大。

无穷大和无穷小的关系：

若 \(f(x)\) 是无穷大，则 \(\frac{1}{f(x)}\) 是无穷小；反之，若 \(f(x)\) 是无穷小，且 \(f(x)\neq 0\) ，则 \(\frac{1}{f(x)}\) 是无穷大；

重要

这里， \(f(x)\neq 0\) ，因为分母不能为0

常用无穷大的比较

当 \(x\to +\infty\) 时，

\(ln^{\alpha}x<<x^{\beta}<<a^x\)

其中， \(\alpha > 0, \beta > 0, a > 1\) 。

对于数列而言：

\(ln^{\alpha}n<<n^{\beta}<<a^n<<n!<<n^n\)

重要

函数的极限为无穷小或者无穷大意味着函数没有极限，无穷小和无穷大是函数没有极限的两种特殊状态。

当函数处于震荡时，只是无界变量而不是无穷大或无穷小，比如： \(\frac{1}{x^2}\sin{\frac{1}{x}}\) 是无界变

求极限的方法

利用基本极限求极限

常用基本极限：

\begin{align} &\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x} = 1 \\ &\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} = e \\ &\lim\limits_{x\to\infty}(x+\frac{1}{x}) = e \\ &\lim\limits_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x} = \ln a \\ &\lim\limits_{x\to\infty}\sqrt[n]{n} = 1 \\ &\lim\limits_{x\to\infty}\sqrt[n]{n} = 1(a>0)\\ &\lim\limits_{x\to\infty}\sqrt[n]{n} = 1(a>0)\\ &\lim\limits_{x\to\infty}\frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x + b_0} = \left\{\begin{array}{lc} \frac{a_n}{b_n},& n=m\\ 0, &n<m\\ \infty, & n>m \end{array}\right.\\ &\lim\limits_{x\to\infty}x^n= \left\{\begin{array}{lc} 0 & |x| < 1\\ \infty & |x| > 1\\ 1 & x = 1\\ \mbox{不存在} & x = -1 \end{array}\right.\\ &\lim\limits_{n\to\infty}e^{nx} = \left\{\begin{array}{lc} 0 & x < 0 \\ +\infty & x > 0 \\ 1 & x = 0 \end{array}\right.\\ \end{align}

\(1^{\infty}\) 型极限常用结论

若 \(\lim\alpha(x)=0, \lim\beta(x)=\infty\) ，且 \(\lim\alpha(x)\beta(x)=A\) ，则 \(\lim(1+\alpha(x))^{\beta(x)} = e^A\)

等价无穷小代换

代换原则：

• 乘除关系可以换

• 加减关系在一定条件下可以换

  若 \(\alpha\sim\alpha_1, \beta\sim\beta_1\) ，且 \(\lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq 1\) ，则 \(\alpha - \beta\sim\alpha_1 - \beta_1\)

常用的等价无穷小

当 \(x\to 0\) 时：

\begin{align} &x\sim\sin{x}\sim\tan{x}\sim\arcsin{x}\sim\arctan{x}\sim\ln(x+1)\sim e^x-1 \\ &a^x-1\sim x\ln a \\ &(1+x)^{\alpha}-1\sim\alpha x \\ &1-\cos{x}\sim\frac{1}{2}x^2 \\ &x-\sin{x}\sim\frac{1}{6}x^3 \\ &\tan{x}-x\sim\frac{1}{3}x^3 \\ &\arcsin{x}-x\sim\frac{1}{6}x^3 \\ &x-\arctan{x}\sim\frac{1}{3}x^3 \\ &x-\ln(1+x)\sim\frac{1}{2}x^2 \\ \end{align}

利用有理运算法则求极限

• 和的极限等于极限的和

• 积的极限等于极限的积

• 商的极限等于极限的商（分母不能为零）

备注

• 存在 \(\pm\) 不存在 = 不存在

• 不存在 \(\pm\) 不存在 = 不确定

• 存在 \(\times/\div\) = 不确定

• 不存在 \(\times/\div\) = 不确定

重要

这些法则适用于函数的极限、连续性、导数、级数

常用的结论：

• 若 \(\lim f(x)=A\neq 0\) 则 \(\lim f(x)g(x) = A\lim g(x)\)

• 若 \(\lim\frac{f(x)}{g(x)}\) 存在，且 \(\lim g(x)=0\) ，则 \(\lim f(x)=0\)

• 若 \(\lim\frac{f(x)}{g(x)}=A\neq 0\) ，且 \(\lim f(x)=0\) ，则 \(\lim g(x)=0\)

利用洛必达法则求极限

条件：

1. \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}=0(\infty)\)

2. \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在 \(x_0\) 的某去心邻域内可导，且 \(g^{\prime}(x)\neq 0\)

3. \(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\) 存在（或 \(\infty\) ）

则 \(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\)

适用类型： \(\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0\cdot\infty, \infty - \infty, \infty^0, 0^0\)

• 对于前两种，可以直接使用

• 对于第三种，使用分数将其化为前两种方式

• 对于第四种，使用通分

• 对于第五种，一般形式为 \(f(x)^{g(x)}\) ，化为 \(e^{f(x)\ln g(x)}\)

\[\begin{split}\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}\Leftarrow \left\{\begin{array}{l} 0\cdot\infty\Leftarrow \left\{\begin{array}{l} 1^{\infty}\\ \infty^0 \\ 0^0 \end{array}\right.\\ \infty - \infty \end{array}\right.\end{split}\]

利用泰勒公式求极限

定理：

设 \(f(x)\) 在 \(x=x_0\) 处 \(n\) 可导，则：

• \(f(x)=f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)\)

其中：

• 当 \(0(x-x_0)^n=o((x-x_0)^n)\) 时，称为佩亚诺余项

• 当 \(0(x-x_0)^n=\frac{f^{(n-1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\) 时，称为拉格朗日余项，此处 \(\xi\) 是位于 \(x\to x_0\) 中的一个值

当 \(x=x_0\) 时：

• \(f(x)=f(0)+f^{\prime}(0)(x)+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x)^n+o(x^n)\)

佩亚诺余项又被称为局部泰勒公式，其余项在无限趋向于 \(x_0\) 的时候为零，适用于 极限 和 极值 拉格朗日余项又被称为整体泰勒公式，其余项在 \(x\to\infty\) 这个大范围时趋向于零，适用于 最值 和 不等式证明

常用的泰勒公式：

\begin{align} &e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n) \\ &\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n)!}+o(x^{2n}) \\ &\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n}) \\ &\ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n) \end{align}

利用夹逼准则求极限

定义：

若数列 \(\{x_n\}, \{y_n\}, \{z_n\}\) 满足下列条件：

1. 从某项开始，即 \(\exists n_0 \in N_+\) 当 \(n>n_0\) 时，有：

\(y_0\leq x_n\leq z_n\)

2. \(\lim\limits_{n\to\infty}y_n=a, \lim\limits_{n\to\infty}z_n=a\)

那么数列 \(\{x_n\}\) 的极限存在， 且 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a\)

单调有界必有极限

利用定积分的定义求极限

求极限的基本思想

对于 \(\frac{0}{0}\) 型的极限，其方法一般为：

1. 化简

2. • 洛必达

   • 等价无穷小

   • 泰勒公式