极限 ######################################## 自变量趋向于有限值的极限 **************************************** 定义： :math:`\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A` :math:`\forall\epsilon >0` ,当 :math:`0 < |x-x_0|` 时，恒有 :math:`|f(x)-A| < \epsilon` .. important:: 这里 :math:`x \to x_0`, 但是 :math:`x \neq x_0` 。并且要求 :math:`x` 在在去心邻域中除了极限点外，处处有定义 。 比如： :math:`\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\sin{(x\sin{\frac{1}{x}}})}{x\sin{\frac{1}{x}}}` 是没有极限的，因为在零点的去心邻域中，除了零点外，总是有未定义点（:math:`x\sin{\frac{1}{x}} = 0` 的点，即 :math:`x = \frac{1}{k\pi}` ） .. note:: 在自变量趋向于有限值时，应当按照以下步骤求解： 1. 查看函数的左右极限 2. 将无穷大通过倒数转换为无穷小 例如对于 :math:`\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^3+2x^2}{(x-2)^2}` ： 左极限： :math:`\lim\limits_{x\to 2^+}\frac{(x-2)^2}{x^3+2x^2} = 0^+` 右极限： :math:`\lim\limits_{x\to 2^-}\frac{(x-2)^2}{x^3+2x^2} = 0^+` 故： :math:`\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^3+2x^2}{(x-2)^2}=+\infty` 左极限和右极限 **************************************** 1. 分段函数在分界点的极限 2. :math:`e^{\infty}` 型的极限 （例如 :math:`\lim\limits_{x\to 0}e^{\frac{1}{x}}, \lim\limits_{x\to 0}e^x, \lim\limits_{x\to 0}e^{-x}` ） .. note:: 对于 :math:`\lim\limits_{x\to 0}e^{\frac{1}{x}}` 而言，其左极限 :math:`\lim\limits_{x\to 0^+}e^{\frac{1}{x}} = +\infty` 而 :math:`\lim\limits_{x\to 0^-}e^{\frac{1}{x}} = 0` 3. :math:`\arctan{\infty}` 型极限（例如 :math:`\lim\limits_{x\to 0}, \lim\limits_{x\to \infty}\arctan{x}` ） .. important:: 一般而言，在一下情境下分左右极限进行讨论： - 分段函数分段点 - 左右极限有区别（比如 :math:`e^{-\infty} = 0, e^{+\infty = \infty}` ） 极限存在的条件 **************************************** 1. 子数列的定义域的并集为整个数列的定义域，且子数列的极限相等 2. 充要条件：当 :math:`x_0` 的左右极限存在且相等时， :math:`x_0` 点的极限存在 对于第一条来说，以 :math:`2k` 和 :math:`2k+1` 为例，其分别为奇数列和偶数列，当且仅当奇数列和偶数列的极限相等时，整个函数才存在极限 极限的性质 **************************************** #. 有界性： 1. 若数列收敛，那么数列有极限 2. 若 :math:`\lim\limits_{x\to x_0}f(x)` 存在，那么 :math:`f(x)` 在 :math:`x_0` 的去心邻域中有界 #. 保号性 1. 若数列的极限大于零，则存在 :math:`N>0` ，当 :math:`n>N` 时， :math:`x_n>0` 2. 若存在 :math:`N>0` ，当 :math:`n>N` 时， :math:`x_n\ge 0` ，则数列的极限 :math:`A\ge 0` 。 .. note:: 第一条不得带等号，第二条必须带等号 3. 函数的保号性与数列的相同 3. 极限与无穷小的关系 :math:`\lim f(x) = A \Leftrightarrow f(x) = A + \alpha(x)` ，其中 :math:`\lim \alpha(x) = 0` 极限的存在准则 **************************************** 1. 夹逼准则 若存在 :math:`N` ，当 :math:`n>N` 时， :math:`x_n\leq y_n \leq z_n` ，且 :math:`\lim\limits_{n\to\infty}x_n = \lim\limits_{n\to\infty}z_n = a` ，则 :math:`\lim\limits_{n\to\infty}y_n = a` 。 2. 单调有界必有极限 .. note:: 夹逼准则更多用于 :math:`n` 项和的数列中，而第二条更多的用于递推关系定义的极限中。 无穷小、无穷大和无界变量 **************************************** 无穷小的性质 #. **有限个** 无穷小的和依然是无穷小 #. **有限个** 无穷小的积依然是无穷小 #. 无穷小与有界变量的乘积依然是无穷小 无穷大的性质 #. **有限个** 无穷大的积依然是无穷大 #. 无穷大与有界变量的和依然是无穷大 .. note:: 由于无穷大分为 :math:`+\infty` 和 :math:`-\infty` ，故，有限个无穷大的和不一定是无穷大。 无穷大和无穷小的关系： 若 :math:`f(x)` 是无穷大，则 :math:`\frac{1}{f(x)}` 是无穷小；反之，若 :math:`f(x)` 是无穷小，且 :math:`f(x)\neq 0` ，则 :math:`\frac{1}{f(x)}` 是无穷大； .. important:: 这里， :math:`f(x)\neq 0` ，因为分母不能为0 常用无穷大的比较 当 :math:`x\to +\infty` 时， :math:`ln^{\alpha}x< 0, \beta > 0, a > 1` 。 对于数列而言： :math:`ln^{\alpha}n<0)\\ &\lim\limits_{x\to\infty}\sqrt[n]{n} = 1(a>0)\\ &\lim\limits_{x\to\infty}\frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x + b_0} = \left\{\begin{array}{lc} \frac{a_n}{b_n},& n=m\\ 0, &nm \end{array}\right.\\ &\lim\limits_{x\to\infty}x^n= \left\{\begin{array}{lc} 0 & |x| < 1\\ \infty & |x| > 1\\ 1 & x = 1\\ \mbox{不存在} & x = -1 \end{array}\right.\\ &\lim\limits_{n\to\infty}e^{nx} = \left\{\begin{array}{lc} 0 & x < 0 \\ +\infty & x > 0 \\ 1 & x = 0 \end{array}\right.\\ \end{align} :math:`1^{\infty}` 型极限常用结论 若 :math:`\lim\alpha(x)=0, \lim\beta(x)=\infty` ，且 :math:`\lim\alpha(x)\beta(x)=A` ，则 :math:`\lim(1+\alpha(x))^{\beta(x)} = e^A` 等价无穷小代换 ======================================== 代换原则： - 乘除关系可以换 - 加减关系在一定条件下可以换 若 :math:`\alpha\sim\alpha_1, \beta\sim\beta_1` ，且 :math:`\lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq 1` ，则 :math:`\alpha - \beta\sim\alpha_1 - \beta_1` 常用的等价无穷小 当 :math:`x\to 0` 时： .. math:: :nowrap: \begin{align} &x\sim\sin{x}\sim\tan{x}\sim\arcsin{x}\sim\arctan{x}\sim\ln(x+1)\sim e^x-1 \\ &a^x-1\sim x\ln a \\ &(1+x)^{\alpha}-1\sim\alpha x \\ &1-\cos{x}\sim\frac{1}{2}x^2 \\ &x-\sin{x}\sim\frac{1}{6}x^3 \\ &\tan{x}-x\sim\frac{1}{3}x^3 \\ &\arcsin{x}-x\sim\frac{1}{6}x^3 \\ &x-\arctan{x}\sim\frac{1}{3}x^3 \\ &x-\ln(1+x)\sim\frac{1}{2}x^2 \\ \end{align} 利用有理运算法则求极限 ======================================== - 和的极限等于极限的和 - 积的极限等于极限的积 - 商的极限等于极限的商（分母不能为零） .. note:: - 存在 :math:`\pm` 不存在 = 不存在 - 不存在 :math:`\pm` 不存在 = 不确定 - 存在 :math:`\times/\div` = 不确定 - 不存在 :math:`\times/\div` = 不确定 .. important:: 这些法则适用于函数的极限、连续性、导数、级数 常用的结论： - 若 :math:`\lim f(x)=A\neq 0` 则 :math:`\lim f(x)g(x) = A\lim g(x)` - 若 :math:`\lim\frac{f(x)}{g(x)}` 存在，且 :math:`\lim g(x)=0` ，则 :math:`\lim f(x)=0` - 若 :math:`\lim\frac{f(x)}{g(x)}=A\neq 0` ，且 :math:`\lim f(x)=0` ，则 :math:`\lim g(x)=0` 利用洛必达法则求极限 ======================================== 条件： 1. :math:`\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}=0(\infty)` 2. :math:`f(x)` 和 :math:`g(x)` 在 :math:`x_0` 的某去心邻域内可导，且 :math:`g^{\prime}(x)\neq 0` 3. :math:`\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}` 存在（或 :math:`\infty` ） 则 :math:`\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}` 适用类型： :math:`\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0\cdot\infty, \infty - \infty, \infty^0, 0^0` - 对于前两种，可以直接使用 - 对于第三种，使用分数将其化为前两种方式 - 对于第四种，使用通分 - 对于第五种，一般形式为 :math:`f(x)^{g(x)}` ，化为 :math:`e^{f(x)\ln g(x)}` .. math:: \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}\Leftarrow \left\{\begin{array}{l} 0\cdot\infty\Leftarrow \left\{\begin{array}{l} 1^{\infty}\\ \infty^0 \\ 0^0 \end{array}\right.\\ \infty - \infty \end{array}\right. 利用泰勒公式求极限 ======================================== 定理： 设 :math:`f(x)` 在 :math:`x=x_0` 处 :math:`n` 可导，则： - :math:`f(x)=f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)` 其中： - 当 :math:`0(x-x_0)^n=o((x-x_0)^n)` 时，称为佩亚诺余项 - 当 :math:`0(x-x_0)^n=\frac{f^{(n-1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}` 时，称为拉格朗日余项，此处 :math:`\xi` 是位于 :math:`x\to x_0` 中的一个值 当 :math:`x=x_0` 时： - :math:`f(x)=f(0)+f^{\prime}(0)(x)+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x)^n+o(x^n)` 佩亚诺余项又被称为局部泰勒公式，其余项在无限趋向于 :math:`x_0` 的时候为零，适用于 ``极限`` 和 ``极值`` 拉格朗日余项又被称为整体泰勒公式，其余项在 :math:`x\to\infty` 这个大范围时趋向于零，适用于 ``最值`` 和 ``不等式证明`` 常用的泰勒公式： .. math:: :nowrap: \begin{align} &e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n) \\ &\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n)!}+o(x^{2n}) \\ &\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n}) \\ &\ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n) \end{align} 利用夹逼准则求极限 ======================================== 定义： 若数列 :math:`\{x_n\}, \{y_n\}, \{z_n\}` 满足下列条件： 1. 从某项开始，即 :math:`\exists n_0 \in N_+` 当 :math:`n>n_0` 时，有： :math:`y_0\leq x_n\leq z_n` 2. :math:`\lim\limits_{n\to\infty}y_n=a, \lim\limits_{n\to\infty}z_n=a` 那么数列 :math:`\{x_n\}` 的极限存在， 且 :math:`\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a` 单调有界必有极限 ======================================== 利用定积分的定义求极限 ======================================== 求极限的基本思想 **************************************** 对于 :math:`\frac{0}{0}` 型的极限，其方法一般为： #. 化简 #. - 洛必达 - 等价无穷小 - 泰勒公式