第九章
二、偏导数
定义式：$f_x(x,y)=\frac{\partial z}{\partial x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$
高阶偏导数
二阶及二阶以上的偏导被称为高阶偏导数
设函数：$z=f(x,y)$在区域$D$有偏导数
$\frac{\partial z}{\partial x}=f_x(x,y),\frac{\partial z}{\partial y}=f_y(x,y)$
则其二阶导数有：
$\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial ^2 z}{\partial x^2}=f_{xx}(x,y)$
$\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial ^2 z}{\partial x\partial y}=f_{xy}(x,y)$
$\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial y})=\frac{\partial ^2 z}{\partial y\partial x}=f_{yx}(x,y)$
$\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial y})=\frac{\partial ^2 z}{\partial y^2}=f_{yy}(x,y)$
第二个和第三个被称为混合偏导数。
若函数的两个混合偏导数在区域$D$都连续，则在该区域内这两个混合偏导数相等。
拉普拉斯方程：
函数$z=\ln{\sqrt{x^2+y^2}}$有：$\frac{\partial ^2z}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2z}{\partial y^2}=0$
函数$u=\frac{1}{r}$由：$\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2u}{\partial z^2}$。其中$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
三、全微分
若函数$z=f(x,y)$的偏导数在点$(x,y)$连续，则函数在该点可微，且
$dz=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y$
注意：各偏导数的存在是全微分存在的必要不充分条件
对于三元函数$u=f(x,y,z)$
$du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy+\frac{\partial u}{\partial z}dz$
函数的全微分等于各偏导与偏微分的积的和。
四、多元复合函数的求导法则
若函数$u=\phi(t)$及$v=\Psi(x)$在点$t$可导，且函数$z=f(u,v)$在点$(u,v)$具有连续偏导数，则函数$z=f[\phi(t),\Psi(t)]$有：
$\frac{dz}{dx}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}$
若函数$u=\phi(x,y)$和$v=\Phi(x,y)$在点$(x,y)$有对$x、y$的偏导数，函数$z=f(u,v)$在点$(u,v)$具有连续偏导数，则函数$z=f[\phi(x,y),\Psi(x,y)]$有：
$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$
$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$
若函数$u=\phi(x,y)$在点$(x,y)$有对$x、y$的偏导数，函数$v=\psi(y)$在点$y$可导，函数$z=f(u,v)$在点$(u,v)$有连续偏导数，则函数$z=f[\phi(x,y),v(y)]$有：
$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}$
$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial y}$
五、隐函数求导
对函数$F(x,y)=0$，在点$(x_0,y_0)$若有$F(x_0,y_0)=0,F_y(x_0,y_0)\neq0$，则：
$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$
对函数$F(x,y,z)=0$，在点$(x_0,y_0,z_0)$若有$F(x_0,y_0,z_0)=0,F_z(x_0,y_0,z_0)\neq0$，则：
$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}$
$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$
方程组情形下
对于方程组$$\left{ \begin{array}{c}F(x,y,u,v)=0 \G(x,y,u,v)=0 \end{array}\right. $$
若在$P(x_0,y_0,u_0,v_0)$有对各个变量的偏导数，且$F(x_0,y_0,u_0,v_0)=0,G(x_0,y_0,u_0,v_0)=0$。且
雅可比式：
$J=\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}\begin{vmatrix}\frac{\partial F}{\partial u}&\frac{\partial F}{\partial v} \\frac{\partial G}{\partial v}&\frac{\partial G}{\partial v}\end{vmatrix}$
不为零。则有$u=u(x,y),v=v(x,y)$，且：
$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,v)}=-\frac{\begin{vmatrix}F_x&F_v\G_x&G_v\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_u&F_v\G_u&G_v\end{vmatrix}}$
$\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}=-\frac{\begin{vmatrix}F_u&F_x\G_u&G_x\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_u&F_v\G_u&G_v\end{vmatrix}}$
$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,v)}=-\frac{\begin{vmatrix}F_y&F_v\G_y&G_v\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_u&F_v\G_u&G_v\end{vmatrix}}$
$\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,y)}=-\frac{\begin{vmatrix}F_u&F_y\G_u&G_y\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_u&F_v\G_u&G_v\end{vmatrix}}$
六、空间曲线的切线和法平面
设空间曲线$\Gamma$的参数方程为：
$$\left{\begin{array}{c}x=\phi(t)\y=\psi(t)\z=\omega(t)\end{array}\right.$$$,t\in[\alpha,\beta]$
则对于曲线$\Gamma$上一点$M(x_0,y_0,z_0)$：
切向方程为：$\frac{x-x_0}{\phi^{\prime}(t_0)}=\frac{y-y_0}{\psi^{\prime}(t_0)}=\frac{z-z_0}{\omega^{\prime}(t_0)}$
法平面为：$\phi^{\prime}(t_0)(x-x_0)+\psi^{\prime}(t_0)(y-y_0)+\omega^{\prime}(t_0)(z-z_0)=0$
七、空间曲面的法线和切平面
设空间曲面$\sum$的方程为：$F(x,y,z)=0$,其中：
$\left{\begin{array}{c}x=\psi(t)\y=\psi(t)\z=\omega(t)\end{array}\right.$
则过曲面$\sum$上一点$M(x_0,y_0,z_0)$的：
切平面的方程为：$F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$
切平面在点$M$的法线方程为：$\frac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}$
八、方向导数和梯度
1.方向导数
若函数$f(x,y)$在点$P(x_0,y_0)$可微分，那么函数在该点沿任一方向$l$的方向导数存在，且有：
$\frac{\partial f}{\partial l}=f_x(x_0,y_0)cos\alpha+f_y(x_0,y_0)\cos\beta$
其中，$\cos\alpha,\cos\beta$是方向$l$的方向余弦。
2.梯度
$grad f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\vec i+f_y(x_0,y_0)\vec j$
若函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$可微分，$\vec e_l=(\cos\alpha,\cos\beta)$是与方向$l$同向的方向向量，则：
$$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)cos\alpha+f_y(x_0,y_0)\cos\beta=gradf(x_0,y_0)\cdot\vec e_l=|grad f(x_0,y_0|\cos\theta)$$
其中，$\theta=(grad f(x_0,\widehat{y_0),\vec e_l})$
| $\theta$的取值 | $f(x,y)$的增长性 | | :——————–: | :—————————————————: | | $\theta=0$ | 函数在这个方向的方向导数达到最大值$|grad f(x_0,y_0)|$ | | $\theta=\pi$ | 函数的方向导数达到最小值 | | $\theta=\frac{\pi}{2}$ | 函数变化率为零 |
九、多元函数的极值
多元函数极值存在的必要条件是函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$对$x,y$的偏导数值为零，且函数值存在
即： $f_x(x_0,y_0)=0，f_y(x_0,y_0)=0$
凡是使$f_x(x_0,y_0)=0，f_y(x_0,y_0)=0$同时成立的点$(x_0,y_0)$称为驻点，极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。
极值的计算：
设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的邻域内连续且具有二阶连续偏导数，令：
$f_{xx}(x_0,y_0)=A,f_{xy}(x_0,y_0)=B,f_{yy}(x_0,y_0)=C$
则$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的判断如下：
| 判别式 | 极值情况 | | :——–: | :————————————–: | | $AC-B^2>0$ | 具有极值，且$A<0$有极大值，$A>0$有极小值 | | $AC-B^2<0$ | 没有极值 | | $AC-B^2=0$ | 可能有，也可能没有 |
条件极值和拉格朗日算子
拉格朗日乘数法 要找函数$z=f(x,y)$在附加条件$\phi(x,y)=0$下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数：
$L(x,y)=f(x,y)+\lambda\phi(x,y)=0$
其中$\lambda$为参数。求其对$x,y$的一阶偏导数，并使之为零，得到：
$\left{\begin{array}{c}f_x(x,y)+\lambda\phi_x(x,y)=0\f_y(x,y)+\lambda\psi_y(x,y)=0\\psi(x,y)=0\end{array}\right.$
由此方程组解出的$x,y,\lambda$就是函数$f(x,y)$可能的极值点。
推广的拉格朗日乘数法
对于函数$u=f(x,y,z,t)$，附加条件分别为$\phi(x,y,z,z,t)=0,\psi(x,y,z,t)=0$,先求拉格朗日函数：
$L(x,y,z,t)=f(x,y,z,t)+\lambda\phi(x,y,z,t)+\mu\psi(x,y,z,t)$
其中，$\lambda,\mu$都是参数。对上式子求一阶偏导，并使之为零，然后与$\phi(x,y,z,z,t)=0,\psi(x,y,z,t)=0$联立，就可以求到可能的极值点。