# 第九章

## 二、偏导数

定义式：$f_x(x,y)=\frac{\partial z}{\partial x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$

### 高阶偏导数

​	二阶及二阶以上的偏导被称为`高阶偏导数`

设函数：$z=f(x,y)$在区域$D$有偏导数

$\frac{\partial z}{\partial x}=f_x(x,y),\frac{\partial z}{\partial y}=f_y(x,y)$

则其二阶导数有：

1. $\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial ^2 z}{\partial x^2}=f_{xx}(x,y)$

2. $\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial ^2 z}{\partial x\partial y}=f_{xy}(x,y)$

3. $\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial y})=\frac{\partial ^2 z}{\partial y\partial x}=f_{yx}(x,y)$

4. $\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial y})=\frac{\partial ^2 z}{\partial y^2}=f_{yy}(x,y)$

第二个和第三个被称为`混合偏导数`。

​	若函数的两个混合偏导数在区域$D$都连续，则在该区域内这两个混合偏导数相等。

### 拉普拉斯方程：

1. 函数$z=\ln{\sqrt{x^2+y^2}}$有：$\frac{\partial ^2z}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2z}{\partial y^2}=0$
2. 函数$u=\frac{1}{r}$由：$\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2u}{\partial z^2}$。其中$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

## 三、全微分

​	若函数$z=f(x,y)$的偏导数在点$(x,y)$连续，则函数在该点`可微`，且

​	$dz=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y$

> 注意：各偏导数的存在是全微分存在的必要不充分条件

对于**三元函数**$u=f(x,y,z)$

​	$du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy+\frac{\partial u}{\partial z}dz$

> 函数的全微分等于各偏导与**偏微分**的积的和。

## 四、多元复合函数的求导法则

1. 若函数$u=\phi(t)$及$v=\Psi(x)$在点$t$可导，且函数$z=f(u,v)$在点$(u,v)$具有连续偏导数，则函数$z=f[\phi(t),\Psi(t)]$有：

   ​	$\frac{dz}{dx}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}$

2. 若函数$u=\phi(x,y)$和$v=\Phi(x,y)$在点$(x,y)$有对$x、y$的偏导数，函数$z=f(u,v)$在点$(u,v)$具有连续偏导数，则函数$z=f[\phi(x,y),\Psi(x,y)]$有：

   ​	$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$

   ​	$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$

3. 若函数$u=\phi(x,y)$在点$(x,y)$有对$x、y$的偏导数，函数$v=\psi(y)$在点$y$可导，函数$z=f(u,v)$在点$(u,v)$有连续偏导数，则函数$z=f[\phi(x,y),v(y)]$有：

   ​	$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}$

   ​	$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial y}$

## 五、隐函数求导

1. 对函数$F(x,y)=0$，在点$(x_0,y_0)$若有$F(x_0,y_0)=0,F_y(x_0,y_0)\neq0$，则：

   ​			$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$

2. 对函数$F(x,y,z)=0$，在点$(x_0,y_0,z_0)$若有$F(x_0,y_0,z_0)=0,F_z(x_0,y_0,z_0)\neq0$，则：

   ​			$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}$

   ​			$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$

### 方程组情形下

对于方程组$$\left\{ \begin{array}{c}F(x,y,u,v)=0 \\G(x,y,u,v)=0 \end{array}\right. $$

若在$P(x_0,y_0,u_0,v_0)$有对各个变量的偏导数，且$F(x_0,y_0,u_0,v_0)=0,G(x_0,y_0,u_0,v_0)=0$。且

#### 雅可比式：

​				$J=\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}\begin{vmatrix}\frac{\partial F}{\partial u}&\frac{\partial F}{\partial v} \\\frac{\partial G}{\partial v}&\frac{\partial G}{\partial v}\end{vmatrix}$

不为零。则有$u=u(x,y),v=v(x,y)$，且：

$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,v)}=-\frac{\begin{vmatrix}F_x&F_v\\G_x&G_v\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_u&F_v\\G_u&G_v\end{vmatrix}}$

$\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}=-\frac{\begin{vmatrix}F_u&F_x\\G_u&G_x\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_u&F_v\\G_u&G_v\end{vmatrix}}$

$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,v)}=-\frac{\begin{vmatrix}F_y&F_v\\G_y&G_v\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_u&F_v\\G_u&G_v\end{vmatrix}}$

$\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,y)}=-\frac{\begin{vmatrix}F_u&F_y\\G_u&G_y\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_u&F_v\\G_u&G_v\end{vmatrix}}$

## 六、空间曲线的切线和法平面

设空间曲线$\Gamma$的参数方程为：

$$\left\{\begin{array}{c}x=\phi(t)\\y=\psi(t)\\z=\omega(t)\end{array}\right.$$$,t\in[\alpha,\beta]$

则对于曲线$\Gamma$上一点$M(x_0,y_0,z_0)$：

切向方程为：$\frac{x-x_0}{\phi^{\prime}(t_0)}=\frac{y-y_0}{\psi^{\prime}(t_0)}=\frac{z-z_0}{\omega^{\prime}(t_0)}$

法平面为：$\phi^{\prime}(t_0)(x-x_0)+\psi^{\prime}(t_0)(y-y_0)+\omega^{\prime}(t_0)(z-z_0)=0$

## 七、空间曲面的法线和切平面

设空间曲面$\sum$的方程为：$F(x,y,z)=0$,其中：

​		$\left\{\begin{array}{c}x=\psi(t)\\y=\psi(t)\\z=\omega(t)\end{array}\right.$

则过曲面$\sum$上一点$M(x_0,y_0,z_0)$的：

切平面的方程为：$F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$

切平面在点$M$的法线方程为：$\frac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}$

## 八、方向导数和梯度

### 1.方向导数

​	若函数$f(x,y)$在点$P(x_0,y_0)$可微分，那么函数在该点沿任一方向$l$的方向导数存在，且有：

​				$\frac{\partial f}{\partial l}=f_x(x_0,y_0)cos\alpha+f_y(x_0,y_0)\cos\beta$

其中，$\cos\alpha,\cos\beta$是方向$l$的方向余弦。

### 2.梯度

​	$grad f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\vec i+f_y(x_0,y_0)\vec j$

​	若函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$可微分，$\vec e_l=(\cos\alpha,\cos\beta)$是与方向$l$同向的方向向量，则：

​	$$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)cos\alpha+f_y(x_0,y_0)\cos\beta=gradf(x_0,y_0)\cdot\vec e_l=|grad f(x_0,y_0|\cos\theta)$$

其中，$\theta=(grad f(x_0,\widehat{y_0),\vec e_l})$

|     $\theta$的取值     |                   $f(x,y)$的增长性                    |
| :--------------------: | :---------------------------------------------------: |
|       $\theta=0$       | 函数在这个方向的方向导数达到最大值$|grad f(x_0,y_0)|$ |
|      $\theta=\pi$      |               函数的方向导数达到最小值                |
| $\theta=\frac{\pi}{2}$ |                    函数变化率为零                     |



## 九、多元函数的极值

​	多元函数极值存在的必要条件是**函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$对$x,y$的偏导数值为零，且函数值存在**

即：	$f_x(x_0,y_0)=0，f_y(x_0,y_0)=0$

​	凡是使$f_x(x_0,y_0)=0，f_y(x_0,y_0)=0$同时成立的点$(x_0,y_0)$称为**驻点**，极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。

### 极值的计算：

​	设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的邻域内连续且具有二阶连续偏导数，令：

​	$f_{xx}(x_0,y_0)=A,f_{xy}(x_0,y_0)=B,f_{yy}(x_0,y_0)=C$

则$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的判断如下：

|   判别式   |                 极值情况                 |
| :--------: | :--------------------------------------: |
| $AC-B^2>0$ | 具有极值，且$A<0$有极大值，$A>0$有极小值 |
| $AC-B^2<0$ |                 没有极值                 |
| $AC-B^2=0$ |            可能有，也可能没有            |

### 条件极值和拉格朗日算子

**拉格朗日乘数法** 要找函数$z=f(x,y)$在附加条件$\phi(x,y)=0$下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数：

​						$L(x,y)=f(x,y)+\lambda\phi(x,y)=0$

其中$\lambda$为参数。求其对$x,y$的一阶偏导数，并使之为零，得到：

$\left\{\begin{array}{c}f_x(x,y)+\lambda\phi_x(x,y)=0\\f_y(x,y)+\lambda\psi_y(x,y)=0\\\psi(x,y)=0\end{array}\right.$

​	由此方程组解出的$x,y,\lambda$就是函数$f(x,y)$可能的极值点。

### 推广的拉格朗日乘数法

​	对于函数$u=f(x,y,z,t)$，附加条件分别为$\phi(x,y,z,z,t)=0,\psi(x,y,z,t)=0$,先求拉格朗日函数：

​	$L(x,y,z,t)=f(x,y,z,t)+\lambda\phi(x,y,z,t)+\mu\psi(x,y,z,t)$

​	其中，$\lambda,\mu$都是参数。对上式子求一阶偏导，并使之为零，然后与$\phi(x,y,z,z,t)=0,\psi(x,y,z,t)=0$联立，就可以求到可能的极值点。