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多元函数积分学
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.. highlights::

   #. 理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质,了解二重积分的中值定理.
   #. **掌握** 二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)
   #. 理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.
   #. **掌握** 计算两类曲线积分的方法.
   #. **掌握** 格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数.
   #. 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系， **掌握** 计算两类曲面积分的方法， **掌握** 用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分.
   #. 了解散度与旋度的概念,并会计算.
   #. 会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等).

二重积分
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二重积分的一般形式为 :math:`\iint\limits_Df(x,y)d\sigma` 。

- 当二重积分用来计算 *曲顶柱体* 的体积时， :math:`f(x,y)` 代表 :math:`z` 的大小， :math:`D` 代表 :math:`x,y` 围成的面积。
- 当二重积分用来计算 *平面薄片的质量* 时， :math:`f(x,y)` 代表薄片上某点的质量，而 :math:`D` 代表平面薄片的面积

根据 :math:`D` 所处的坐标系不同，可以将二重积分的计算分为：

#. 直角坐标系下的二重积分

   直角坐标系下将 :math:`D` 分为两种类型： :math:`X` 型和 :math:`Y` 型。 :math:`X` 积分区域代表做垂直于 :math:`X` 轴的直线，其与积分区域的边界最多不交于两点， :math:`Y` 型区域同理。

   对于 :math:`X` 型区域而言， :math:`\iint\limits_Df(x,y)d\sigma=\int_a^b[\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy]dx`

#. 极坐标下的二重积分

   对于极坐标而言，其计算公式为：

   .. math::

      \iint\limits_Df(x,y)dxdy=\iint\limits_Df(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho d\theta

三重积分
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三重积分的一般形式为 :math:`\iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)dv` 。三重积分可用于计算物体的质量，则 :math:`\Omega` 代表物体的体积， :math:`f(x,y,z)` 在物体某点的质量。

根据计算方式的不同，三重积分可以划分为：

#. 直角坐标系下的二重积分
#. 可化为二重积分的三重积分

   如果一个三重积分可以拆分为一个对 :math:`z` 的积分和对 :math:`x,y` 围成的面积的积分，而则面积很好求，就可以将三重积分拆分为一个二重积分。即：

   .. math::

      \iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z)dv=\int_{c_1}^{c_2}dz\iint\limits_{D_z}f(x,y,z)dxdy

   其中， :math:`\Omega=\{(x,y,z)|(x,y)\in D_z, c_1\leq z\leq c_2\}`

#. 柱坐标系下的三重积分

   对于柱面坐标而言，点 :math:`M` 的直角坐标与柱面坐标的关系为：

   .. math::

      \left\{\begin{array}{l}
         x=\rho\cos\theta\\
         y=\rho\sin\theta\\
         z=z
      \end{array}\right.

   且 :math:`dv=\rho d\rho d\theta dz`

#. 球坐标系下的三重积分

   对于球面坐标而言，直角坐标与其的对应关系为：

   .. math::

      \left\{\begin{array}{l}
         x=r\sin\varphi\cos\theta\\
         y=r\sin\varphi\sin\theta\\
         z=r\cos\varphi
      \end{array}\right.

曲面的面积
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对于曲面而言，将其投影到 :math:`xoy` 面再计算面积，有以下公式：

.. math::

   A=\iint\limits_D\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy

曲线积分
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曲线积分有两种：

- 对弧长的曲线积分：适用于求曲线部件的质量

   假设曲线的方程为 :math:`\left\{\begin{array}{l} x=\varphi(t)\\ y=\phi(t) \end{array}\right. \space (\alpha\leq t\leq\beta)`

   则：

   .. math::

      \int_L f(x,y)ds=\int_{\alpha}^{\beta}f[\varphi(t), \psi(t)]\sqrt{\varphi^2(t)+\phi^2(t)}dt \space (\alpha <\beta)

   .. important::

      此处积分的下限一定要小于上限，即 :math:`\alpha<\beta`

- 对坐标的曲线积分：适用于求力沿曲线路径做的工

   假设曲线的方程为 :math:`\left\{\begin{array}{l} x=\varphi(t)\\ y=\phi(t) \end{array}\right. \space (\alpha\leq t\leq\beta)`

   .. math::

      \int_LP(x,y)+Q(x,y)dy=\int_{\alpha}^{\beta}P[\varphi(t),\phi(t)]d\varphi(t)+Q[\varphi(t),\phi(t)]d\psi(t)

   .. note::

      对坐标的曲线积分，积分结果与积分路径有关

两类曲线积分的联系： :math:`\int_rPdx+Qdy+Rdz=\int_r(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)ds`

格林公式:
   设闭区域 :math:`D` 由分段光滑的曲线 :math:`L` 围成，若函数 :math:`P(x)` 及 :math:`Q(x)` 在 :math:`D` 上具有一阶连续偏导数，则 :math:`\iint\limits_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial Q}{\partial y})dxdy=\oint\limits_LPdx+Qdy` 。 :math:`L` 是取向为正向的边界曲线。

   上述右侧曲线积分与路径无关的 **充要条件** 是 :math:`P_y=Q_x`