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函数、极限和连续
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考点
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.. highlights::

   #. 理解函数的概念， **掌握** 函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.
   #. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.
   #. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.
   #.  **掌握** 基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.
   #. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.
   #.  **掌握** 极限的性质及四则运算法则.
   #.  **掌握** 极限存在的两个准则,并会利用它们求极限, **掌握** 利用两个重要极限求极限的方法.
   #. 理解无穷小量、无穷大量的概念， **掌握** 无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.
   #. 理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.
   #. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质.

对于这一部分而言，重点内容为：

求极限
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对于极限而言，常见的题型为：

1. 函数的极限

   考察七种不定式，七种 :math:`\frac{0}{0}` 和 :math:`1^{\infty}` 是重点内容

   - 对于 :math:`\frac{0}{0}` 型极限而言，主要有三种方法：
      #. 洛必达
      #. 等价无穷小替换
      #. 泰勒公式

      当出现 *变限积分* 时，可以使用：
         #. 洛必达法则
         #. 积分中值定理
         #. 使用 :math:`\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1` 则 :math:`\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(g(x))dx`

   - 对于 :math:`1^{\infty}` 型极限而言，主要有以下方法：
      #. 凑重要极限
      #. 改写称洛必达法则
      #. 使用三部曲：:math:`\left\{\begin{array}{l} 1. \text{写成标准型}: \lim[1+\alpha(x)]^{\beta (x)} \\ 2. \text{求} \lim\alpha(x)\beta(x)=A\\ 3. \text{原式的极限} = e^A \end{array}\right.`

2. 数列的极限

   - 不定式
   - :math:`n` 项和的数列极限
   - 由递推关系定义的数列（重点）
      设递归关系 :math:`x_1=a, x_{n+1}=f(x_n)(m=1,2,3\cdots)` 定义的数列：

      常用方法：

      #. 先证明 :math:`{x_n}` 收敛（单调有界准则），然后等式 :math:`x_{n+1}=f(x_n)` 两端取极限得 :math:`A=f(A)` ，由此求得极限 :math:`A`
      #. 先令 :math:`\lim\limits_{n\to\infty}x_n=A` ，然后等式两端取极限得到 :math:`A` ，最后证明 :math:`\lim\limits_{n\to\infty}=A`

      单调性常用的三种方法：

      #. :math:`x_{n+1}-x_n\geq 0(\leq 0)`
      #. 若 :math:`{x_n}` 不变号，且 :math:`\frac{x_{n+1}}{n}\geq 1(\leq 1)`
      #. 设数列 :math:`{x_n}` 由 :math:`x_1=a, x_{n+1}=f(x_n)(n=1,2,3,\cdots)` 所确定
         #. 若 :math:`f(x)` 单调增，则 :math:`x_1\leq x_2` 时， :math:`{x_n}` 单调增加，否则单调减
         #. 若 :math:`f(x)` 单调减，则 :math:`{x_n}` 不单调

求极限的常用方法：

#. 利用基本极限求极限
#. 利用有理运算法则求极限
#. 利用等价无穷小求极限
#. 利用洛必达求极限（数列不能直接用，需要将 :math:`n` 替换为 :math:`x\to\infty` ）
#. 利用泰勒公式求极限
#. 利用夹逼准则求极限
#. 利用定积分的定义求极限（适用于数列）
#. 利用单调有界求极限
#. 利用拉格朗日中值定理求极限

无穷小阶的比较
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间断点及其类型
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函数
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首先对函数而言，**定义域** 和 **对应法则** 定义了一个函数的全部内容，如果两个函数的定义域和对应法则都相同，那么这两个函数就是相同的。

函数的特性

- 有界性
- 单调性
- 奇偶性
- 周期性

.. note::

   对于 *狄利克雷* 函数而言，任何有理数都是它的周期，因此不存在最小正周期

反函数
   当函数本身是一个单射（ :math:`x` 和 :math:`y` 是一一对应的）时，函数 :math:`f(x)=y` 存在一个反函数 :math:`f^{-1}(y)=x` 。原本的函数称为反函数的 ``直接函数`` 。直接函数与反函数关于直线 :math:`y=x` 对称。

初等函数
   幂函数（ :math:`x^a` ）、指数函数（ :math:`a^x` ）、对数函数、三角函数和反三角函数称为 ``基本初等函数`` 。

常用不等式：

.. math::
   :nowrap:

   \begin{align}
      &x-1<[x]\leq x
   \end{align}

数列
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若当 :math:`n\to\infty` 时存在极限，即：:math:`\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a` 则称数列为 ``收敛数列``

收敛数列有以下性质：

1. 数列收敛是数列有界的 **充分条件**
2. 收敛数列的极限有且 **唯一**
3. 若数列的极限 :math:`a>0` ，则当 :math:`n\to\infty` 时，必有 :math:`x_n>0` 。小于亦然
4. 若自某项起，收敛数列 :math:`x_n>=0` ，则数列的极限 :math:`a>=0` 。小于亦然
5. 收敛数列的任意子数列也收敛于 :math:`a`

若数列 :math:`x_n` 的 ``所有`` 子数列都收敛于 :math:`a` ，那么 :math:`x_n` 也收敛于 :math:`a` 。

.. important::

   第三条性质被称为 ``收敛数列的保号性`` 。注意与第四条性质做对比。等号仅且仅能在第四条出现，第三条万万不能出现等号。

函数极限
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函数的极限在以下情况下必定存在：

#. 函数的左右极限存在且相等
#. （夹逼定理）若在某去心邻域中， :math:`g(x)\leq f(x)\leq h(x)` 且 :math:`\lim g(x) = \lim h(x) =A` ，则 :math:`\lim f(x)=A`
#. 单调有界必有极限

函数极限的性质：

#. 若函数在某去心邻域中存在极限，则极限唯一
#. 若函数在某去心邻域中存在极限，则函数在此邻域有界
#. 若 :math:`\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A` ，且 :math:`A>0` 。则当 :math:`x\to x_0` 时，必有 :math:`f(x)>0` 。小于亦然
#. 若函数在某去心邻域中 :math:`f(x)\geq 0` 则 :math:`A\geq 0` 。小于亦然
#. 和差积商的函数的极限等于极限的和差积商（注意分母不得为零）
#. 若函数在某去心邻域中总有 :math:`f(x)\ge g(x)` ，且 :math:`\lim f(x)=A, \lim g(x)=B` 则有 :math:`A\ge B`

根据第五条性质，可以有以下推论：

#. :math:`\lim[cf(x)]=c\lim f(x)`
#. :math:`\lim[f(x)]^n=[\lim f(x)]^n`
#. :math:`\lim\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{\lim P(x)}{\lim Q(x)}`

无穷小和无穷大
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定义：

#. 若 :math:`\lim\frac{\beta}{\alpha}=0` ，则称 :math:`\beta` 是 :math:`\alpha` 的高阶无穷小。记作 :math:`\beta = o(\alpha)`
#. 若 :math:`\lim\frac{\beta}{\alpha}=1` ，则称 :math:`\beta` 是 :math:`\alpha` 的等价无穷小。记作 :math:`\alpha \sim \beta`

性质：

#. :math:`\beta` 与 :math:`\alpha` 是 **等价无穷小** 的充要条件是： :math:`\beta=\alpha+o(\alpha)`
#. 在 :math:`x\to x_0` 的过程中。函数有极限的充要条件是 :math:`f(x)=A+\alpha` 其中 :math:`\alpha` 是关于 :math:`\Delta x` 的等价无穷小
#. ``有限`` 个无穷小的和/积依然是无穷小
#. 有界函数与无穷小的积依然是无穷小

对于第二条性质而言，在 :math:`x\to x_0` 的过程中， :math:`\alpha` 的不断减小的，直至当 :math:`x=x_0` 时， :math:`\alpha` 减小到 0

.. important::

   由于无穷大分为 :math:`-\infty` 和 :math:`+\infty` ，故有限的无穷大的和不一定依然是无穷大

重要的极限和无穷小
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极限

#. :math:`\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1`
#. :math:`\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e`

常用的等价无穷小

.. math::
   :nowrap:

   \begin{align}
      &\ln(1+x)         \sim x                      \space&(x\to 0)  \\
      &e^x-1            \sim x                      \space&(x\to 0)  \\
      &e^x-1-x          \sim \frac{1}{2}x^2         \space&(x\to 0)  \\
      &(1+x)^{\alpha}-1 \sim \alpha x               \space&(x\to 0)  \\
      &1-\cos^{\alpha}x \sim \frac{\alpha}{2}x^2    \space&(x\to 0)  \\
      &\tan x-x         \sim \frac{1}{3}x^3         \space&(x\to 0)  \\
      &\tan x-\sin x    \sim \frac{1}{2}x^3         \space&(x\to 0)  \\
      &x-\sin x         \sim \frac{1}{6}x^3         \space&(x\to 0)  \\
      &x-\arcsin x      \sim \frac{1}{6}x^3         \space&(x\to 0)  \\
      &x-\arctan x      \sim -\frac{1}{3}x^3        \space&(x\to 0)  \\
      &x-\ln(1+x)       \sim \frac{1}{2}x^2         \space&(x\to 0)  \\
      &a^x-1            \sim x\ln a                 \space&(x\to 0)
   \end{align}

此外，还有

.. math::
   :nowrap:

   \begin{align}
      &\sqrt{1+x^2}  \sim x \space&(x\to\infty)
   \end{align}

.. note::

   若要在减法中使用等价无穷小代换，则需要 :math:`\alpha\sim\alpha_1, \space\beta\sim\beta_1` ，满足 :math:`\lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq 1`

在一些情况下，我们需要主动去发现一个等价无穷小，例如：

.. math::

   & \lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+x+\frac{f(x)}{x})}{x}=3 \\
   \because & \lim\limits_{x\to 0}\ln(1+x+\frac{f(x)}{x})=0 \\
   \therefore & x+\frac{f(x)}{x} = 0 \\
   \therefore & \ln(1+x+\frac{f(x)}{x}) \sim x + \frac{f(x)}{x} \\
   \therefore & \text{原式}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x}(x+\frac{f(x)}{x})=0 \\
   \therefore & \lim\limits_{x\to 0}1+\frac{f(x)}{x^2}=3

函数的连续性和间断性
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#. 设函数 :math:`y=f(x)` 在点 :math:`x_0` 的某一邻域有定义，若 :math:`\lim\limits_{x\to x_0}=f(x_0)` ，则 :math:`f(x)` 在点 :math:`x_0` 连续
#. 若 :math:`\lim\limits_{x\to x_0} y\neq \infty` ，则 :math:`f(x)` 在该点连续。

在区间上每一点都连续的函数，则认为函数在此区间上是连续函数。若函数在靠近区间任一点上都不会趋向于无穷大，则认为该函数在此区间上 **一致性连续**

性质：

#. 若函数在 :math:`x_0` 点连续，则他们的 *和差积商* 都在 :math:`x_0` 点连续。
#. 若函数在区间 :math:`I_x` 上单调递增且连续，则它的反函数也在区间上 :math:`I_x` 上单调递增且连续。（递减亦如此）
#. 设 :math:`u=g(x)` 和 :math:`y=f(u)` 。在 :math:`x_0` 的去心邻域上，若 :math:`\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=u_0` 而 :math:`y=f(u)` 在 :math:`u_0` 处连续，则有： :math:`\lim\limits_{x\to x_0}f[g(x)]=f[\lim\limits_{x\to x_0}g(x)]`
#. 基本初等函数在其定义域内是连续的
#. 初等函数在其 **定义区间** 内是连续的

间断点：

.. uml::

   @startmindmap
   * 间断点
   ** 第一类间断点
   *** 可去间断点
   **** 间断点的左右极限不相等
   *** 跳跃间断点
   ** 第二类间断点
   @endmindmap

有理分式的拆解
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下面介绍使用 *留数定理* 快速拆解有理分式的方式：

现在有有理分式 :math:`\frac{1}{(x-1)(x-2)}` ，将其拆分后可以得到 :math:`\frac{a}{x-1}, \frac{b}{x-2}` 的形式，其中

- :math:`a = \frac{1}{\bcancel{(x-1)}(x-2)}=-1, \space x-1=0`
- :math:`b = \frac{1}{(x-1)\bcancel{(x-2)}}=1, \space x-2=0`

因此，有理式拆解之后的形式为 :math:`\frac{-1}{x-1}+\frac{1}{x-2}`

对于高阶多项式而言，例如 :math:`\frac{1}{(x-1)^2(x-2)}` ，将其拆分后得到 :math:`\frac{a}{x-1}+\frac{b}{(x-1)^2}+\frac{c}{x-2}`

- :math:`b=\frac{1}{\bcancel{(x-1)^2}(x-2)}, \space (x-1)^2=0`
- :math:`c=\frac{1}{(x-1)^2\bcancel{(x-2)}}, \space x-2=0`

:math:`a` 可是将任意一个数代入后得到，需要注意的是：令 :math:`(x-1)^2=0` 求得的系数是 2 次幂的系数，其他阶同理