# 重积分


## 1. 二重积分

​	二重积分在几何上有两重含义：

1. 曲面柱体的体积

2. 平面薄片的质量

   对于函数$z=f(x,y)$，有界闭区域$D$而言：

在第一种情况下，函数$z=f(x,y)$代表曲面柱形的顶面。

第二种情况下，函数$z=g(x,y)$代表平面薄片的`线密度`。

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​	二重积分的表达式为：

​	$\iint_Df(x,y)dxdy$

其中有界闭区域$D=dxdy$，叫做`直角坐标系的面积元素`。

### 2.二重积分的性质

- ① 两个函数之和的二重积分等于两个函数的二重积分之和

- ② 二重积分中的常数项可提取到积分号外面
- ③ $\iint_D1\cdot d\sigma=\iint_D d\sigma$
- ④ 若在$D$上，有$f(x,y)\leq g(x,y)$，则：
		$\iint_Df(x,y)d\sigma\leq\iint_Dg(x,y)d\sigma$
- ⑤ $|\iint_Df(x,y)d\sigma|\leq_D|f(x,y)|d\sigma$
- ⑥ 若在$D$上，有：$\leq f(x,y)\leq M$
  则：$m\sigma\leq\iint_D f(x,y)d\sigma\leq M\sigma$
- ⑦ 二重积分的中值定理：设函数$f(x,y)在闭区域$D$上连续，$$\sigma$是​$D$的面积，则​$D$上至少存在一点​$(\xi,\eta)$，使得：
		$\iint_D f(x,y)d\sigma = f(\xi,\eta)\sigma$
### 3.二重积分的解法

​	二重积分在解法上分为两种。分别适用于`X型积分区域D`和`Y型积分区域D`：

1.  X型区域：

   $\iint_Df(x,y)d\sigma=\int_a^bdx\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(x,y)dy​$

> 其中，$a\leq x\leq b,\phi_1(x)\leq y\leq\phi_2(x)$

2. Y型区域：

   $\iint_Df(x,y)d\sigma=\int_c^ddy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)dx$

> 其中，$c\leq y\leq d,\psi_1(y)\leq y \leq\psi_2(x)$

**总结来说**

​	X型区域先对y进行积分，在对x进行积分；而Y型区域先对x进行积分，再对y进行积分。

### 4.积分区域选取的原则

- [x] 优先选取可积分的区域
- [x] 若X型和Y型均可积分，则优先选取简单的积分区域
- [x] 若X型和Y型积分难度相似，则优先选取分割次数少的积分区域
### 附注：不可积分函数

- $e^{ax^2}$

- $\frac{\sin x}{x}$

- $\frac{x^n}{\ln x}$

- $\sin x^2$

  以上函数的积分结果是`超越积分`，也就是非初等函数积分。



  [不可积分函数](https://zhidao.baidu.com/question/556924306883838172.html)