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常微分方程
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.. highlights::

   #. 了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.
   #. **掌握** 变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法.
   #. 会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程.
   #. 会用降阶法解下列形式的微分方程:y=f(x),y”= f(xy')和y"= f(y.y')
   #. 理解线性微分方程解的性质及解的结构.
   #. **掌握** 二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.
   #. 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.
   #. 会解欧拉方程.
   #. 会用微分方程解决一些简单的应用问题.

可分离变量的微分方程和齐次方程
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对于一个微分方程 :math:`y^{\prime}=f(x,y)` 如果能够将其化简为 *一段只含有* :math:`y` *和* :math:`dy` *，另一端只含有* :math:`x` *和* :math:`dx` * 就称这个方程是 **可分离变量的微分方程**

   对可分离变量的微分方程而言，直接对两侧进行积分就可以求出通解。

如果一个微分方程可以化为 :math:`\frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x})` ，那么就称这个微分方程是一个齐次方程。

对于齐次方程而言，令 :math:`u=\frac{y}{x}` ，则 :math:`y=ux, \frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}` 。将 :math:`u` 代入原方程，就可以将 **齐次方程** 化为关于 :math:`u` 的 *可分离变量的微分方程* 。

一阶线性微分方程
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一阶线性微分方程 :math:`\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)` 在 :math:`Q(x)=0` 时就变成了一个齐次方程。

对一阶线性微分方程对应的齐次方程进行求解，可得： :math:`y=Ce^{-\int P(x)dx}` 。将其代入原方程，就得到 :math:`C=\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C_1` 。将其代入上面齐次方程的解，就得到了一阶线性微分方程的通解： :math:`y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)`

可降阶的高阶微分方程
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可降阶的高阶微分方程分为三种：

1. :math:`y^{(n)}=f(x)` （不含有 :math:`y, y^{\prime}` ） ：

   直接对方程两边连续积分即可，每次积分都可以降阶一次

2. :math:`y^{\prime\prime}=f(x,y^{\prime})`  （不含有 :math:`y` ）：

   令 :math:`p=y^{\prime}` ，则

   .. math::

      y^{\prime\prime}=\frac{dp}{dx}=p^{\prime}

   这样就得到了一个关于 :math:`u` 的一阶线性微分方程。对其通解进行积分即可得到原式的解。

3. :math:`y^{\prime\prime}=f(y,y^{\prime})` （不含有 :math:`x` ）：

   与第二种情况相同，设 :math:`u=y^{\prime}` ，但是这里将 :math:`y^{\prime\prime}` 处理为：

   .. math::

      y^{\prime\prime}=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}

   对其通解进行积分即可得到原式的解。


高阶线性微分方程
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对于两个函数而言，如果它们的比值为常数，那么它们就是 **线性相关** 的，否则就是线性无关的。

设有二阶齐次线性方程：

.. math::

   y^{\prime\prime}+P(x)y^{\prime}+Q(x)y=0

假设 :math:`y_1, y_2` 是其两个线性无关的特解，则 :math:`y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)` （ :math:`C_1,C_2` 是任意常数）是方程的通解。

设 :math:`y^*(x)` 是二阶 **非** 齐次线性方程的特解， :math:`Y(x)` 是此非齐次方程对应的齐次方程的特解，那么二阶非齐次线性方程的解为： :math:`y=Y(x)+Y^*` 。

常系数齐次线性微分方程
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设有二阶微分方程 :math:`y^{\prime\prime}+py^{\prime}+qy^{\prime}=0` （ :math:`p,q` 都是常数），则其解为：

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| 特征方程 :math:`r^2+pr+q=0` 的两个根 :math:`r_1, r_2` | 微分方程 :math:`y^{\prime\prime}+py^{\prime}+qy^{\prime}=0` 的通解|
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| 两个不相等的实根 :math:`r_1,r_2`                      | :math:`y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}`                                 |
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|两个相等的实根 :math:`r_1=r_2`                         | :math:`y=(C_1+C_2x)e^{r_1x}`                                      |
+-------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------+
| 一对共轭复根 :math:`r_{1,2}=\alpha\pm\beta i`         | :math:`y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)`             |
+-------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------+