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多元函数微分学
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.. highlights::

   #. 理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义.
   #. 了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.
   #. 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变性.
   #. 理解方向导数与梯度的概念,并 **掌握** 其计算方法.
   #.  **掌握** 多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.
   #. 了解隐函数存在定理,会求多元隐函数的偏导数.
   #. 了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会求它们的方程.
   #. 了解二元函数的二阶泰勒公式.
   #. 理解多元函数极值和条件极值的概念， **掌握** 多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题.

多元函数的概念
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设 :math:`D` 是 :math:`\boldsymbol{R}^2` 的一个非空子集，称映射 :math:`f:\rightarrow \boldsymbol{R}` 为定义在 :math:`D` 上的 *二元函数* ，通常记为：

.. math::

   z=f(x,y)\qquad (x,y)\in D

其中 :math:`D` 成为函数的 *定义域* ， :math:`x` 和 :math:`y` 称为 *自变量* ， :math:`z` 称为函数的 *因变量* 。

.. hint::

   二元函数的图形是一张曲面

多元函数的极限:
   如果 :math:`P(x,y)` 从不同方向趋向于 :math:`P_0(x_0, y_0)` 时得到的值不同，则函数的极限不存在。

多元初等函数是指可以用一个式子表示的多元函数，则式子是由具有不同自变量的一元初等函数经过有限次四则运算得到的

- 多元连续函数的和差积商依然为连续函数（分母不为零）
- 多元连续函数的复合函数依然为连续函数

偏导数
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设函数 :math:`z=f(x,y)` 在点 :math:`(x_0, y_0)` 的某一邻域有定义，将 :math:`y` 固定在 :math:`y_0` 处，而 :math:`x` 在 :math:`x_0` 处有增量 :math:`\Delta ` 时，有对 :math:`x` 的偏导数：

.. math::

   f_x(x_0,y_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x, y_0)}{\Delta x}

.. hint::

   对 :math:`x` 的偏导数实质上是指函数在 :math:`x` 方向的导数。

如果对函数连续求偏导数，可以得到函数的 **高阶偏导数** ，高阶偏导数有 :math:`z_{xx}, z_{xy}, z_{yz}, z_{yy}` 四种形式。第二种和第三种形式称为 *混合偏导数* ，当函数在定义域内连续时，混合偏导数必定相等。

全微分
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与一元函数的微分相同，将函数的导数乘以其变化量就可以得到函数的全微分，唯一的区别时对于二元函数而言，其有两个方向上的积分，二元函数的全微分可表示为： :math:`dz=z_xdx+z_ydy`

.. important::

   设函数 :math:`z=f(u,v)` 具有连续偏导数，则有全微分：

   .. math::

      dz=\frac{\partial z}{\partial u}du + \frac{\partial z}{\partial v}dv

   无论 :math:`u,v` 是否是中间变量，函数的全微分形式都不变，则一特性被称为 **全微分形式不变性**


全微分的存在定理：

- 全微分存在，则函数的各偏导数存在（充分条件）
- 若函数的各偏导数在 :math:`(x,y)` 连续，则该点可微（充分条件）

多元函数的求导法则
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1. 复合函数的求导法则:
   设函数 :math:`z=f(u,v)` ，其中 :math:`u=\varphi(t), v=\psi(t)` ，则

   .. math::

      \frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t}

   在求导的时候，经常要引入高阶偏导数，为了方便，一般写成 :math:`f_{11}, f_{12}, f_{22}` 的形式。 :math:`1` 和 :math:`2` 分别代表第一个和第二个变量。

2. 隐函数的求导公式:

   - 假设隐函数由方程 :math:`F(x,y)=0` 确定。

      现在对公式两边同时求导，有：

      .. math::

         F_x + F_y\frac{dy}{dx} = 0

      移项可得： :math:`\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}`

   - 若隐函数由方程组 :math:`\left\{\begin{array}{lc}F[x,y,u(x,y),v(x,y)]=0 \\ G[x,y,u(x,y),v(x,y)]=0 \end{array}\right.` 确定。

      对方程两侧求导，得：

      .. math::

         \left\{\begin{array}{lc}
            F_x + F_u\frac{\partial u}{\partial x}+F_v\frac{\partial v}{\partial x}=0 \\
            G_x + G_u\frac{\partial u}{\partial x}+G_v\frac{\partial v}{\partial x}=0
         \end{array}\right.

      对其进行移项，可得：

      .. math::

         &D =  \begin{vmatrix}
                  F_u & F_v\\
                  G_u & G_v\\
               \end{vmatrix}
         \\
         &D_1 = \begin{vmatrix}
                  -F_x & F_u\\
                  -G_x & F_v\\
               \end{vmatrix}
         \\
         &D_2 = \begin{vmatrix}
                  F_u & -F_x\\
                  G_u & -G_x\\
               \end{vmatrix}
         \\
         &\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{D_1}{D}\\
         &\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{D_2}{D}\\

   - 假设隐函数由方程 :math:`F(x,y)=0` 确定，现在对其求二阶偏导数：

      易知 :math:`\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}` ，则二阶偏导数

      .. math::

         \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) & = \frac{\partial}{\partial x}(-\frac{F_x}{F_y})+\frac{\partial}{\partial y}(-\frac{F_x}{F_y})\frac{dy}{dx}\\
         &= -\frac{F_{xx}F{y}-F_{yx}F_x}{F^2y} - \frac{F_{xy}F_y-F_{yy}F_x}{F^2y}(-\frac{F_x}{F_y}) \\
         &=-\frac{F_{xx}F^2_y-2F_{xy}F_xF_y+F_{yy}F^2_x}{F^3_y}

      这里需要注意的是，在等式的第一步中， *对函数求导实质上就是求其全微分* ，因此才得出其第二步。

条件极值
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条件极值没有充分条件，只能考实际问题或者是条件最值

求函数 :math:`f(x,y)` 在条件 :math:`\varphi(x,y)=0` 条件下的极值

令 :math:`F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)` 则：

.. math::

   \left\{\begin{array}{l}
      F_x=f^{\prime}_x(x,y)+\lambda\varphi^{\prime}_x(x,y)=0\\
      F_y=f^{\prime}_y(x,y)+\lambda\varphi^{\prime}_y(x,y)=0\\
      F_{\lambda}=\varphi(x,y)
   \end{array}\right.

拉格朗日乘数法（只能算 **条件最值** ）因为它是必要条件

对于极坐标而言，还可以使用参数方程化条件极值为无条件极值

多元函数的几何应用
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梯度与方向向量
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前面已经说过，多元函数的偏导实际上就是求的函数在特定方向上的导数，现在以二元函数为例，将函数的偏导数以向量的形式写出，即：

.. math::

   \boldsymbol{grad} f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\boldsymbol{i}+f_y(x_0,y_0)\boldsymbol{j}

其中， :math:`\boldsymbol{i}` 就是函数在 :math:`x` 方向上的单位向量， :math:`\boldsymbol{j}` 同理。

这向量的形式便称为 **梯度** 。

将梯度投影到一条平面上的一条射线 :math:`l` 上，就得到了函数在 :math:`l` 方向上的增长速度（就是函数在 :math:`l` 方向上的导数）。

设 :math:`l` 与梯度的夹角为 :math:`\theta` ，其方向余弦为 :math:`\cos\alpha, \cos\beta` ，则：

.. math::

   \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{(x_0, y_0)} & = f_x\cos\alpha + f_y\cos\beta \\
   & = \left|\boldsymbol{grad}f(x_0,y_0)\right|\cos\theta