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一元函数微分学
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考点
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.. highlights::

   #. 理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系.
   #.  **掌握** 导数的四则运算法则和复合函数的求导法则, **掌握** 基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.
   #. 了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数.
   #. 求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.
   #. 理解并会用罗尔( Rolle)定理、拉格朗日( Lagrange )中值定理和泰勒(Taylor )定理,了解并会用柯西(Cauchy)中值定理.
   #.  **掌握** 用洛必达法则求未定式极限的方法.
   #. 理解函数的极值概念， **掌握** 用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法, **掌握** 函数最大值和最小值的求法及其应用.
   #. 会用导数判断函数图形的凹凸性(注:在区间(a,b)内,设函数f(x)具有二阶导数.当f"(x)>0时，f(x)的图形是凹的;当f"(X)<0时，f(x)的图形是凸的),会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形.
   #. 了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径.

对于这一部分而言，重点内容为：

#. 导数定义
#. 求导数（隐函数、参数方程、高阶导数）
#. 函数性态（单调性、极值与最值、凹向和拐点、渐近线）
#. 方程的根
#. 证明函数不等式
#. 微分中值定理的证明题

导数的概念
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#. 若函数在 :math:`x_0` 的某个邻域有定义，且在 :math:`x_0` 点可导，则有：


   :math:`f^{\prime}(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}`

   **若此极限不存在，则函数在该点不可导**

   .. seealso::

      - 考研数学复习全书 P41

   这里若将 :math:`\frac{\Delta y}{\Delta x}` 看作一个新的函数的话，由函数和极限的定义可得： [1]_

   :math:`\frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\alpha=f^{\prime}(x)+\alpha`

   其中 :math:`\alpha` 是关于 :math:`\Delta x` 的等价无穷小。

#. 对于 :math:`x_0` 点而言，导数既可以从左侧逼近，又可以从右侧逼近，故又细分为左导数和右导数（统称为 *单侧导数* ）。与 *极限* 的性质相同， **当且仅当** :math:`\boldsymbol{x_0}` **点左导数和右导数存在且相等** 时，函数在 :math:`x_0` 点的导数存在。

#. 若函数在 :math:`(a, b)` 内可导，且 :math:`f^{\prime}_+(a)` 和 :math:`f^{\prime}_-(b)` 存在，则函数在 :math:`[a, b]` 可导。

#. 可导是连续的 **充分** 条件

利用导数定义求极限
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利用导数定义求导数
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若 :math:`f(x)` 在 :math:`[x_0, x_0+\delta)` 上连续，在 :math:`(x_0.x_0+\delta)` 内可导，且 :math:`\lim\limits_{x\to x_0^+}` 存在，则 :math:`f_+^{\prime}(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^+f^{\prime}(x)}` ，左导数类似。

在使用导数定义求导数的时候，如果使用求导代入的方法时，一定要注意函数在该点是否连续，若不连续，则只能使用导数定义，若连续，则可以求导代入。

利用导数定义判断函数的可导性
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导函数的求导法则
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#. 和差积商的求导法则：

   .. math::
      :nowrap:

      \begin{align}
         &[u+v]^{\prime}         &=&\space u^{\prime}+v^{\prime}\\
         &[uv]^{\prime}          &=&\space u^{\prime}v+uv^{\prime}\\
         &[\frac{u}{v}]^{\prime} &=&\space \frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}\space (v\neq 0)
      \end{align}

#. 反函数的求导法则：反函数的导数是直接函数的倒数
#. 复合函数的求导法则：

   若 :math:`u=g(x)` 在点 :math:`x` 可导，而 :math:`y=f(u)` 在点 :math:`u=g(x)` 可导，则复合函数 :math:`y=f[g(x)]` 在点 :math:`x` 可导，且其导数为：

   .. math::
      :nowrap:

      \begin{align}
         &\frac{dy}{dx}=f^{\prime}(u)\cdot g^{\prime}(x) \mbox{或}\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}
      \end{align}

#. 隐函数的求导法则：对隐函数两边同时除以 :math:`dx` 即可。在某些情况（比如幂指函数、含根号的函数）下，使用 **对数求导法** 可能更加方便。
#. 参数方程的求导法则：

   设函数由方程 :math:`\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t)\\ y=\psi(t)\end{array}\right.` 确定，则：

   .. math::

      f^{\prime}(x)=\frac{\psi^{\prime}(t)}{\varphi^{\prime}(t)}

.. note::

   - 函数求导后奇偶性发生变化（适用于高阶导数）
   - 周期函数求导后依然是周期函数

常用的导数公式

.. math::
   :nowrap:

   \begin{align}
      &(x^{\mu})^{\prime}=\mu x^{\mu-1}                  \\
      &(\sin x)^{\prime}=\cos x                          \\
      &(\cos)^{\prime}=-\sin x                           \\
      &(\tan x)^{\prime}=sec^2 x                         \\
      &(\cot x)^{\prime}=-csc^2 x                        \\
      &(\sec x)^{\prime}=\sec x\tan x                    \\
      &(\csc x)^{\prime}=-\csc x\cot x                   \\
      &(a^x)^{\prime}=a^x\ln a(a>0, a\neq 1)             \\
      &(e^x)^{\prime}=e^x                                \\
      &(\log_ax)^{\prime}=\frac{1}{x\ln a}(a>0, a\neq 1) \\
      &(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}                      \\
      &(\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}       \\
      &(\arccos x)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}       \\
      &(\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^2}              \\
      &(arccot x)^{\prime}=-\frac{1}{1+x^2}              \\
      &(ln|x|)^{\prime}=\frac{1}{x}                      \\
   \end{align}

高阶导数:
   二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数

#. 常用的几个 :math:`n` 阶导数：

   .. math::
      :nowrap:

      \begin{align}
         &(e^x)^{(n)}    &=&\space e^x\\
         &(\sin x)^{(n)} &=&\space \sin(x+n\cdot \frac{\pi}{2})\\
         &(\cos x)^{(n)} &=&\space \cos(x+n\cdot \frac{\pi}{2})
      \end{align}

#. 设函数 :math:`u=u(x)` 和 :math:`v=v(x)` 在 :math:`x` 点具有 :math:`n` 阶导数。则：

   .. math::
      :nowrap:

      \begin{align}
         &(uv)^{(n)} =\sum_{k=0}^n C_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}
      \end{align}

   这里认为零阶导数就是函数自己本身。

.. important::

   - 若 :math:`f(x)\space n` 阶可导，则最多可以求导到 :math:`f^{(n-1)}(x)`
   - 若函数 :math:`f(x)` 有 :math:`n` 阶，且为连续导数，则最多可求导到 :math:`f^{(n)}(x)`

微分
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:math:`\Delta y=A\Delta x + o(\Delta x)`

称函数 :math:`f(x)` 在点 :math:`x_0` 处可微，称 :math:`Ax_0` 为函数在 :math:`x_0` 点对应于 :math:`\Delta x` 的微分，记为：:math:`dy` 。 因此 , :math:`\boldsymbol{\Delta y}` **比** :math:`\boldsymbol{dy}` **大一个高阶无穷小** 。

从这个定义中，可以将微分概括为一个 ``线性主部`` ，微分通过舍弃掉一个高阶无穷小来将一个非线性变化量转变为一个线性函数，所谓主部，指的就是 :math:`A\Delta x`

导数和微分的关系
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- 可导是可微的充要条件
- 导数代表函数的改变率，而微分则代表函数的改变量
- 导数代表了函数在该点的切线的斜率
- 微分代表了函数在该点的切线的增量

若切线的斜率为 :math:`\tan \alpha` ，则 :math:`dy= x_0\tan \alpha`

微分中值定理
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微分中值定理:
   如果函数 :math:`f(x)` 满足：

   #. 在闭区间 :math:`[a, b]` 上连续
   #. 在开区间 :math:`(a, b)` 上可导

   那么在 :math:`(a, b)` 内至少有一点 :math:`\xi (a<\xi<b)` ，使等式 :math:`f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)` 成立。

柯西中值定理:
   如果函数 :math:`f(x)` 和 :math:`F(x)` 满足：

   #. 在闭区间 :math:`[a, b]` 上连续
   #. 在开区间 :math:`(a, b)` 上可导
   #. 对任一 :math:`x\in(a, b), F^{\prime}(x)\neq 0`

   那么在 :math:`(a, b)` 内至少有一点 :math:`\xi` ，使等式 :math:`\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{F^{\prime}(\xi)}` 成立。

洛必达法则
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若函数 :math:`f(x)` 和 :math:`g(x)` 满足：

#. :math:`\lim\frac{f(x)}{g(x)}` 属于未定式之一
#. 在 :math:`x_0` 的某去心邻域内， :math:`f^{\prime}(x)` 和 :math:`g^{\prime}(x)` 都存在且 :math:`g^{\prime}(x)\neq 0`
#. :math:`\lim\limits_{x\to *}\frac{f^{\prime}(x)}{F^{\prime}(x)}` 存在

则：

.. math::

   \lim\limits_{x\to *}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to *}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}

对于 :math:`1^{\infty}` 型极限而言，我们有常用推论：

.. math::
   :nowrap:

   \begin{align}
      &1^{\infty}&=\lim[f(x)]^{g(x)}\\
      &=\lim e^{g(x)\ln f(x)}\\
      &=e^{\lim g(x)\ln f(x)}\\
      &=e^{\lim g(x)[f(x)]-1}
   \end{align}

.. hint::

   上述第二条性质是最容易忽略的，但是十分重要。在邻域内不存在导数的情况下求某点的倒数，可以使用极限的方式求导数

洛必达法则不适用的情况：

- 题中仅告知 :math:`f(x)` 在 :math:`x=x_0` 一点可导
- :math:`x\to 0` 时式子中含有 :math:`\sin\frac{1}{x}, \cos\frac{1}{x}`
- :math:`x\to\infty` 时式子中含有 :math:`\sin x, \cos x`

泰勒公式
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泰勒公式的形式如下：

.. math::

   f(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}\frac{f^{(i)}}{i!}(x-x_0)^2+R_n(x)

#. 对佩亚诺余项： :math:`R_n(x)=o((x-x_0)^n)` 时，多项式与原函数的误差是一个比 :math:`(x-x_0)^n` 高阶的无穷小。
#. 对拉格朗日余项： :math:`R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\space (x_0 - |x| \leq \xi \leq x_0+|x| )` 时，多项式与原函数的误差要小于佩亚诺余项

常用的泰勒公式：

.. math::
   :nowrap:

   \begin{align}
      &1. e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n                    &x\in(-\infty, +\infty)\\
      &2. \sin x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}  &x\in(-\infty, +\infty)\\
      &3. \cos x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}      &x\in(-\infty, +\infty)\\
      &4. \arctan x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}  &x\in[-1,1]          \\
      &5. \frac{1}{1+x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n               &x\in(-\infty, +\infty)\\
      &6. \ln(1+x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n        &x\in(-1, 1]
   \end{align}

更一般地，可以将其表述如下： [#taile]_

.. math::
   :nowrap:

   \begin{align}
      &\sin x = x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5+o(x^5)\\
      &\cos x = 1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+o(x^4)\\
      &\tan x = x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\\
      &\arcsin x=x+\frac{1}{6}x^3+o(x^3)\\
      &\arctan x=x-\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\\
      &\ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+o(x^2)\\
      &e^x=1+x+\frac{1}{2}x^2+o(x^2)\\
      &(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2)
   \end{align}

在使用泰勒公式展开时，有以下原则：

#. **上下同阶** ：若已知分子（分母）是 :math:`x` 的 :math:`k` 阶无穷小，则将函数也展开为 :math:`k` 阶麦克劳林公式
#. **抵消不掉** ：若展开函数为两个以上函数的代数和，则分别展开到它们系数抵消不掉 :math:`x` 次幂为止
#. **吸阶大法** ：展开计算时，要正确应用高阶无穷小的运算法则。特别而是合理使用高阶无穷小加低阶无穷小等于低阶无穷小

.. [#taile] ISBN:9787309145885 P13

曲线的凹凸性、极值点和曲率
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驻点:
   函数的在该点的导数为零

拐点:
   函数在该点的凹凸性发生了变化

- 若函数的在区间 :math:`(a,b)` 上的二阶导数 **大于零** ，则函数在此区间是凹的
- 若函数的在区间 :math:`(a,b)` 上的二阶导数 **小于零** ，则函数在此区间是凸的

函数的极值要么位于极值点处，要么位于不可导点处

曲率:
   曲线的弧长变化量 :math:`ds` 和夹角变化量 :math:`d\Theta` 的比值

.. math::

   K = \frac{|y^{\prime\prime}|}{(1+y^{\prime 2})^{\frac{3}{2}}}

方法论
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极限
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对于极限的求解而言，三角函数其中一个重要的用途就是作为 **有界变量** 。当三角函数出现在根号下时，可以想办法凑齐一个 **无穷小** 与其相乘。

.. [1] 高等数学同济大学第七版 P82