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行列式
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- :math:`a_{ij}` ，其中 :math:`i` 是行标
- 逆序数为奇数的排列为奇排列，反之为偶排列
- 一个排列中的任意两个元素对换，改变奇偶性

- 上/下 三角行列式
- 除了主对角线之外的元素全部为零的行列式叫做 *对角行列式*

行列式的性质：

- 行列式与它的转置形式相同
- 对换行列式的两行/列，行列式变号
- 如果行列式两行/列成比例，则行列式为零
- 把行列式的某一行的各元素乘以同一个数加到另外一行，行列式不变

.. math::

   \left|\begin{array}{llll}
      &        &     &         \lambda_1  \\
      &        &     \lambda_2 &          \\
      &        \dots &         &          \\
      \lambda_n &    &         &
   \end{array}\right|
   = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n

余子式:
   将 :math:`a_{ij}` 的第 :math:`i` 行和第 :math:`j` 列划去留下来的 **行列式** 。记作 :math:`M_{ij}`

代数余子式:
   :math:`A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}`

- 对于一个行列式，如果第 :math:`i` 行除了 :math:`a_(ij)` 外都为零，那么这个行列式的值 :math:`D=a_{ij}A_{ij}`
- 行列式等于它的任一一行/列与其对应的代数余子式乘积之和

范德蒙德行列式:
   .. math::

      \left|\begin{array}{llll}
      1           & 1            & \cdots & 1         \\
      x_{1}       & x_{2}        & \cdots & x_{n}     \\
      x_{1}^{2}   & x_{2}^{2}    & \cdots & x_{n}^{2} \\
      \vdots      & \vdots       & \vdots & \vdots    \\
      x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1}  & \cdots & x_{n}^{n-1}
      \end{array}\right|
      = \prod_{n\geq i>j\geq 1}(x_i-x_j)

- 行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为零。
- 对称矩阵满足 :math:`\boldsymbol{A}^T=\boldsymbol{A}`
- 由矩阵 :math:`\boldsymbol{A}` 构成的行列式记作 :math:`det \boldsymbol{A}` 或 :math:`\left|\boldsymbol{A}\right|`

- :math:`\left|\boldsymbol{A}^T\right|=\left|\boldsymbol{A}\right|`
- :math:`\left|\lambda\boldsymbol{A}\right|=\left|\lambda^n\boldsymbol{A}\right|`
- :math:`\left|\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\right|=\left|\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\right|=\left|\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\right|`

伴随矩阵：
   .. math::

      \boldsymbol{A}^*=
      \left(\begin{array}{llll}
      A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1}\\
      A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\
      \vdots & \vdots &        & \vdots\\
      A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}
      \end{array}\right)

   .. important::

      注意伴随矩阵的行列

- :math:`\boldsymbol{AA^*}=\boldsymbol{A^*A}=\left|\boldsymbol{A}\right|\boldsymbol{E}`