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特征值、特征向量、相似矩阵
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内积:
   向量 :math:`\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}` 的内积 :math:`[\boldsymbol{x,y}]=\sum\limits_{i=0}^{n}x_iy_i`

- 当 :math:`\boldsymbol{x,y}` 都是列向量时，有 :math:`[\boldsymbol{x,y}]=\boldsymbol{x^Ty}`

内积具有以下性质：

- :math:`[\boldsymbol{x,y}]=[\boldsymbol{y,x}]`
- :math:`[\boldsymbol{\lambda x,y}]=\boldsymbol{\lambda}[\boldsymbol{x,y}]`
- :math:`[\boldsymbol{x+y,z}]=[\boldsymbol{x,z}]+[\boldsymbol{y,z]}`
- 当 :math:`\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}` 时，:math:`[\boldsymbol{x,x}]=\boldsymbol{0}` ；当 :math:`\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}` 时， :math:`[\boldsymbol{x,x}]>0`

施瓦茨不等式:
   :math:`[\boldsymbol{x,y}]^2\leq[\boldsymbol{x,x}][\boldsymbol{y,y}]`

长度:
   :math:`n` 维向量 :math:`\boldsymbol{x}` 的长度为 :math:`\left\|x\right\|=\sqrt{[\boldsymbol{x,x}]}`

- 长度具有非负性：当 :math:`\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}` 时， :math:`\left\|\boldsymbol{x}\right\|>0` ；当 :math:`\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}` 时， :math:`\left\|\boldsymbol{x}\right\|=0`
- 长度具有齐次性：:math:`\left\|\boldsymbol{\lambda x}\right\|=\left|\lambda\right|\left\|\boldsymbol{x}\right\|`

- 长度为零的向量为单位向量
- :math:`\boldsymbol{x,y}` 的夹角的正弦为： :math:`\cos\theta=\frac{[\boldsymbol{x,y}]}{\left\|\boldsymbol{x}\right\|\left\|\boldsymbol{y}\right\|}`
- 当两向量的内积为零时，称两向量 **正交**

- 若 :math:`r` 个 :math:`n` 维向量是一组两两正交的向量，则这 :math:`r` 个向量一定线性无关。而且这 :math:`r` 个向量被成为一个 *标准正交基* 。向量空间 :math:`R^r` 中的任一向量都可以被这一组向量表示。

施密特正交化:
   取

   .. math::

      \left\{\begin{array}{l}
         \boldsymbol{b_1}=\boldsymbol{a_1}\\
         \boldsymbol{b_2}=\boldsymbol{a_2}-\frac{[\boldsymbol{b_1,a_2}]}{\boldsymbol{b_1,b_1}}\boldsymbol{b_1}\\
         \cdots\cdots\\
         \boldsymbol{b_r}=\boldsymbol{a_r}-\frac{[\boldsymbol{b_1,a_r}]}{\boldsymbol{b_1,b_1}}\boldsymbol{b_1}-\frac{[\boldsymbol{b_2,a_r}]}{\boldsymbol{b_2,b_2}}\boldsymbol{b_2}-\cdots-\frac{[\boldsymbol{b_{r-1},a_r}]}{\boldsymbol{b_{r-1},b_{r-1}}}\boldsymbol{b_{r-1}}
      \end{array}\right.

   则这些变量两两正交。

   然后进行单位化：

   :math:`\boldsymbol{e_1}=\frac{1}{\left\|\boldsymbol{b_1}\right\|}\boldsymbol{b_1},\boldsymbol{e_2}=\frac{1}{\left\|\boldsymbol{b_2}\right\|}\boldsymbol{b_2},\cdots,\boldsymbol{e_r}=\frac{1}{\left\|\boldsymbol{b_r}\right\|}\boldsymbol{b_r}`

   就得到了一个标准正交基

- 如果 :math:`n` 阶矩阵 :math:`A` 满足 :math:`\boldsymbol{A^TA}=\boldsymbol{E}` （即 :math:`\boldsymbol{A^{-1}}=\boldsymbol{A^T}` ） 。那么称 :math:`\boldsymbol{A}` 为 *正交矩阵* ，简称正交阵
- **方阵** :math:`\boldsymbol{A}` 是正交矩阵的充要条件是 :math:`\boldsymbol{A}` 的列向量都是单位向量，且两两正交

正交矩阵具有以下性质：

- 若 :math:`\boldsymbol{A}` 是正交矩阵，那么 :math:`\boldsymbol{A^{-1}}=\boldsymbol{A^T}` 也是正交矩阵，且 :math:`\left|\boldsymbol{A}\right|=1` （或 :math:`-1` ）
- 若 :math:`\boldsymbol{A,B}` 都是正交矩阵，那么 :math:`\boldsymbol{AB}` 也是正交矩阵
- 若 :math:`\boldsymbol{P}` 是正交矩阵，则线性变换 :math:`\boldsymbol{y}=\boldsymbol{Px}` 也是正交变换
- 向量经过正交变换长度不变

方阵的特征值和特征向量
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设 :math:`\boldsymbol{A}` 是 :math:`n` 阶矩阵，如果数 :math:`\lambda` 和 :math:`n` 维非零列向量 :math:`\boldsymbol{x}` 使关系式

.. math::

   \boldsymbol{Ax}=\lambda\boldsymbol{x}

成立，那么，这样的数称为矩阵 :math:`\boldsymbol{A}` 的 **特征值**，非零向量 :math:`\boldsymbol{x}` 称为 :math:`\boldsymbol{A}` 的对应于特征值 :math:`\lambda` 的 **特征向量**。

由上式可得 :math:`\left|\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E}\right|=0` 。此式称为 :math:`\boldsymbol{A}` 的 **特征方程**

- :math:`\boldsymbol{A}` 的特征值就是就是特征方程的解。特征方程在复数范围内恒有解，且解的个数与特征方程的次数相同（可能有重根）

设矩阵 :math:`\boldsymbol{A}` 的特征值为 :math:`\lambda_1, \lambda_2,\cdots,\lambda_n` ，则有

#. :math:`\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ii}`
#. :math:`\prod_{i=1}^{n}\lambda_i=\left|\boldsymbol{A}\right|`
#. :math:`\lambda_2` 是 :math:`\boldsymbol{A}` 的特征值
#. :math:`\frac{1}{\lambda}` 是 :math:`\boldsymbol{A}^{-1}` 的特征值
#. 如果 :math:`\boldsymbol{p_1}, \boldsymbol{p_2}, \cdots,\boldsymbol{p_n}` 是特征值对应的特征向量，且上述特征值各不相同，那么特征向量之间线性无关
#. 如果 :math:`lambda_1, \lambda_2` 是方阵的来个不同特征值， :math:`\xi_1, \xi_2,\cdots,\xi_s` 和 :math:`\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t` 是对应的两个线性无关的特征向量，那么 :math:`\xi_1, \xi_2,\cdots,\xi_s,\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t` 线性无关

由 2 可知， :math:`\boldsymbol{A}` 是可逆矩阵的充要条件是它的 :math:`n` 个特征值全不为零。

对上式进行变形就可以得到求特征值的方法：

.. math::

   (\boldsymbol{A}-\lambda_i\boldsymbol{E})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}

对上述方程求解就可以得到 :math:`\lambda` 的值以及其对应的特征向量

相似矩阵
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设 :math:`\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}` 都是 :math:`n` 阶矩阵，若有 **可逆矩阵** :math:`\boldsymbol{P}` 使 :math:`\boldsymbol{P^{-1}AP}=\boldsymbol{B}` ，那么 :math:`\boldsymbol{B}` 是 :math:`\boldsymbol{A}` 的相似矩阵。对 :math:`\boldsymbol{A}` 进行 :math:`\boldsymbol{P^{-1}AP}` 叫做相似变换

- 相似矩阵的特征多项式和特征值相同
- 若 :math:`n` 阶矩阵 :math:`\boldsymbol{A}` 与对角矩阵

   .. math::

      \boldsymbol{\Lambda}=
      \left|\begin{array}{llll}
      \lambda_1 &&& \\
      & \lambda_2 &&\\
      && \ddots &   \\
      &&& \lambda_n
      \end{array}\right|

   相似，那么 :math:`\lambda_1, \lambda_2,\cdots,\lambda_n` 就是 :math:`\boldsymbol{A}` 的 :math:`n` 个特征值
- :math:`\boldsymbol{A}` 能对角化（有对应的相似对角矩阵）的充要条件是 :math:`\boldsymbol{A}` 有 :math:`n` 个线性无关的特征向量
- 对称矩阵的特征值为实数
- 设 :math:`\lambda_1, \lambda_2` 是对称矩阵 :math:`\boldsymbol{A}` 的两个特征值， :math:`\boldsymbol{p_1}, \boldsymbol{p_2}` 是对应的特征向量，若 :math:`\lambda_1\neq\lambda_2` ，则 :math:`\boldsymbol{p_1}, \boldsymbol{p_2}` 正交
- 若 :math:`\boldsymbol{A}` 是 :math:`n` 阶对称矩阵，必有正交矩阵 :math:`\boldsymbol{P}` ，使 :math:`\boldsymbol{P^{-1}AP}=\boldsymbol{P^TAP}=\boldsymbol{\Lambda}` ，其中 :math:`\Lambda` 是以 :math:`\boldsymbol{A}` 的 :math:`n` 个特征值为对角元的对角矩阵

二次型及其标准型
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二次齐次多项式（二次型）用矩阵可表示为： :math:`f=\boldsymbol{x^TAx}` 。其中

.. math::

   \boldsymbol{A} =
   \left|\begin{array}{lll}
   x^2           & \frac{1}{2}xy & \frac{1}{2}xz \\
   \frac{1}{2}xy & y^2           & \frac{1}{2}yz \\
   \frac{1}{2}xz &               &  z^2
   \end{array}\right|

:math:`\boldsymbol{A}` 叫做二次型 :math:`f` 的矩阵， :math:`f` 叫做对称矩阵 :math:`\boldsymbol{A}` 的二次型，对称矩阵 :math:`\boldsymbol{A}` 的秩就叫做二次型 :math:`f` 的秩。

- 设 :math:`\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}` 是 :math:`n` 阶矩阵，若有可逆矩阵 :math:`\boldsymbol{C}` ，使得 :math:`\boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{AC}` ，则称矩阵 :math:`\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}` 合同

.. note::

   求合同矩阵并对角化后就得到了标准化的二次型

其标准型使用矩阵可表示为 :math:`\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Cy}`

将二次型化为标准型的步骤为：

#. 写出二次型的矩阵 :math:`\boldsymbol{A}`
#. 求出矩阵的正交矩阵 :math:`\boldsymbol{P}`
#. 通过 :math:`\Lambda = \boldsymbol{P}^T\boldsymbol{AP}`  求出合同矩阵

这求得的合同矩阵必定是对角矩阵，矩阵主对角线上的元就是标准型的系数

.. tip::

   用正交变换将二次型化为标准型可以保持几何形状不变

正定二次型
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- 二次型的正系数的个数成为 *正惯性指数* ，反之为 *负惯性指数*
- 若对二次型 :math:`f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{Ax}` ，对于任何 :math:`\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}` 都有 :math:`f(\boldsymbol{x})>0` ，那么称二次型为 **正定二次型** ，并称 :math:`\boldsymbol{A}` 是正定的。反之为 **负定二次型**
- 二次型是正定的充要条件为它标准型的所有系数全为正，也就是说它的正惯性系数指数等于 :math:`n`
- 对称矩阵为正定的充要条件为它的特征值全为正
- 若对称矩阵的 :math:`\boldsymbol{A}` 的各阶子式均为正，那么它是正定的
- 若对称矩阵的 :math:`\boldsymbol{A}` 的奇数阶子式为正，偶数阶为负，那它是负定的