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随机变量及其概率分布
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随机变量及其分布函数
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随机变量:
   在样品空间 :math:`\Omega` 上的实值函数 :math:`X=X(\omega),\omega in\Omega` ，则称 :math:`X(\omega)` 为随机变量，简记 :math:`X`

分布函数:
   对于任意实数 :math:`x` ，记函数 :math:`F(x)=P(X\leq x),-\infty <x<+\infty` ，称 :math:`F(x)` 为随机变量 :math:`X` 的分布函数

   .. note::

      分布函数是定义在 :math:`(-\infty,+\infty)` 上的实值函数， :math:`F(x)` 的值等于随机变量 :math:`X` 在区间 :math:`(-\infty,x]` 内取值的概率，即事件 :math:`X\leq x` 的概率

   分布函数的性质如下：

   - :math:`0\leq F(x\leq 1,\lim\limits_{x\to -\infty}F(x)=0)` ，记作 :math:`F(-\infty)=0,F(+\infty)=1`
   - :math:`F(x)` 为单调非减函数，即若 :math:`x_1<x_2` 则 :math:`F(x_1)\leq F(x_2)`
   - :math:`F(x)` 右连续
   - 对任意 :math:`x_1<x_2` ，有 :math:`P(x_1<X\leq x_2)=F(x_2)-F(x_1)`
   - 对任意的 :math:`x, P(X=x)=F(x)-F(x-0)`

离散型随机变量和连续型随机变量
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离散型随机变量:
   一个随机变量全部可能的取值是有限个或可数无穷个

离散型随机变量 :math:`X` 的概率分布:
   设随机变量 :math:`X` 的可能取值是 :math:`x_1,x_2,\cdots` , :math:`X` 的可能值的概率是 :math:`P(X=x_k)=P_k, k=1,2,\cdots` 。则称此式为离散型随机变量 :math:`X` 的概率分布或分布率

连续型随机变量及其概率密度:
   如果对于随机变量 :math:`X` 的分布函数 :math:`F(x)` ，存在一个非负可积函数 :math:`f(x)` ，使得对于任意实数 :math:`x` 都有 :math:`F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt, -\infty<x<+\infty` 。则称 :math:`X` 是连续型随机变量，函数 :math:`f(x)` 称为 :math:`X` 的概率密度

常用分布
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- 0-1 分布:
   如果随机变量 :math:`X` 有分布率

   .. math::

      \begin{array}{c|cc}
         X & 0   & 1 \\
         \hline
         P & 1-p & p
      \end{array}

   :math:`0<p<1` 则称 :math:`X` 服从参数 :math:`p` 的 :math:`0-1` 分布，或称 :math:`X` 具有 :math:`0-1` 分布

- 二项分布:
   如果随机变量具有分布率

   .. math::

      P(X=k)=C_n^kp^kq^{n-k}, k=0,1,2,\cdots,n

   其中 :math:`0<p<1,q=1-p` ，则称 :math:`X` 服从参数为 :math:`n,p` 的二项分布，记作 :math:`X\sim B(n,p)`

   .. note::

      当 :math:`n=1` 时，二项分布就退化成了 :math:`0-1` 分布

- 几何分布:
   如果随机变量 :math:`X` 的分布率为 :math:`P\{X=k\}=pq^{k-1},k=1,2,\cdots` 。其中 :math:`0<p<1,q=1-p` ，则称 :math:`X` 为服从参数为 :math:`p` 的几何分布，或称 :math:`X` 具有几何分布

- 超几何分布:
   如果随机变量的分布率为

   .. math::

      P\{X=k\}=\frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n},k=l_1,\cdots,l_2

   其中 :math:`l_1=max(0,n-N+M),l_2=min(M,n)` ，则称随机变量 :math:`X` 服从参数为 :math:`n,N,M` 的超几何分布

   如果 :math:`N` 件产品中含有 :math:`M` 件次品，从中任意一次取出 :math:`n` 件，另 :math:`X=` 抽取的 :math:`n` 件产品中的次品个数，则 :math:`X` 服从参数为 :math:`n,N,M` 的超几何分布

   .. note::

      如果是有放回的取出，则 :math:`X\sim B(n,\frac{M}{N})`

- 泊松分布:
   如果随机变量 :math:`X` 的分布率为 :math:`P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,2,\cdots,` 其中 :math:`\lambda>0` 为常数，则称随机变量 :math:`X` 服从参数为 :math:`\lambda` 的泊松分布，记作 :math:`X\sim P(\lambda)`

- 均匀分布:
   如果连续型随机变量 :math:`X` 的概率密度为

   .. math::

      f(x)=
      \left\{\begin{array}{lc}
          \frac{1}{b-a}, &a\leq x\leq b \\
          0, &\text{其他}
      \end{array}\right.

   则称 :math:`X` 在区间 :math:`[a,b]` 上服从均匀分布，记作 :math:`X\sim U[a,b]` 。于此类似，还有开区间版本的 :math:`X\sim U(a,b)`

- 指数分布:
   如果连续型随机变量 :math:`X` 的概率密度为

   .. math::

      f(x)=
      \left\{\begin{array}{lc}
         \lambda e^{-\lambda x}, & x>0 \\
         0, & x\leq 0
      \end{array}\right.

   其中 :math:`\lambda >0` ，则称 :math:`X`服从参数为 :math:`\lambda` 的指数分布，记作 :math:`X\sim E(\lambda)`

- 正态分布:
   如果连续型随机变量 :math:`X` 的概率密度为

   .. math::

      f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\mu^2}}, -\infty<x<+\infty

   当 :math:`\mu=0,\sigma^2=1` 时，即 :math:`X\sim N(0,1)` ，称 :math:`X` 服从标准正态分布。此时用 :math:`\varphi(x)` 表示 :math:`X` 的概率密度，用 :math:`\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}},-\infty<x<+\infty`

泊松定理:
   在伯努利实验中， :math:`p_n` 代表事件 :math:`A` 在实验中能出现的概率，它与实验总数 :math:`n` 有关，若 :math:`\lim\limits_{n\to\infty}bp_n=\lambda` 则

   .. math::

      \lim\limits_{n\to\infty}C_n^kp_{n}^{k}(1-p_n)^{n-k} = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}