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随机事件与概率
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随机实验:
   满足一下条件的实验成为 **随机实验** ：

   - 实验可以在相同条件下重复进行
   - 实验的所有可能结果事先已经知道，且不唯一
   - 试验前不能确定试验后会出现哪一个结果

样本点:
   一个随机实验的每一个可能结果称为一个 **样本点** ，记为 :math:`\omega` 。所有样本点的集合称为 **样本空间** ，记为 :math:`\Omega` 。

事件:
   在大量重复试验中具有某种规律性的事情称为随机事件，简称 **事件**

   - 只有一个样本点的事件称为 **基本事件**
   - 实验中一定发生的事件称为 **必然事件** ，记为 :math:`\Omega`
   - 实验中一定不会发生的事件称为 **不可能事件** ，记为 :math:`\varnothing`

随机事件的关系与运算:
   - 若事件 :math:`A` 发生必然导致事件 :math:`B` 发生，则称事件 :math:`A` 包含于 :math:`B` ，记作 :math:`A\subset B`
   - 若事件 :math:`A` 包含事件 :math:`B` ，而事件 :math:`B` 也包含事件 :math:`A` ，则称事件相等，记作 :math:`A=B`
   - 若事件 :math:`A` 与事件 :math:`B` 至少有一个发生，则称为事件的并： :math:`A\cup B`
   - 若事件 :math:`A` 和 :math:`B` 同时发生，则称为事件的交： :math:`A\cap B`
   - 若事件 :math:`A` 发生而 :math:`B` 不发生，则称为事件的差： :math:`A-B`
   - 若事件 :math:`A` 与事件 :math:`B` 不可能同时发生，则称为两事件互斥（互不相容）： :math:`AB=A\cap B=\varnothing`
   - 事件 :math:`\Omega -A` 称为事件 :math:`A` 的对立事件：:math:`\overline A = \Omega -A`

   .. note::

      只含有一个样本点的事件称为基本事件，那么任意一个基本事件组总是两两互不相容事件组

事件的运算

- 对偶率：
   - :math:`\overline{A\cap B}=\overline A \cup \overline B`
   - :math:`\overline{A\cup B}=\overline A \cap \overline B`

概率、条件概率、独立性和五大公式
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设实验 :math:`E` 的样本空间为 :math:`\Omega` ，称实值函数 :math:`P` 为概率，若 :math:`P` 满足如下条件：

- 非负性：对于任意一个事件 :math:`A` ， :math:`P(A)\geq 0`
- 规范性：对于必然事件 :math:`\Omega` ， :math:`P(\Omega)=1`
- 可列可加性：对于两两互斥事件 :math:`A_1,A_2,\cdots,A_n` 有 :math:`P(A_1\cap A_2\cdots\cap A_n\cdots)=P(A_1)+P(A_2)+\cdots+P(A_n)+\cdots` 。称 :math:`P(A)` 为事件 :math:`A` 的概率

概率的性质:
   - :math:`P(\varnothing)=0`
   - :math:`P(\overline{A})=1-P(A)`
   - :math:`A\subset B` ，则 :math:`P(A)\leq P(B)`
   - :math:`0\leq P(A)\leq 1`

条件概率:
   设 :math:`A,B` 为两事件，且 :math:`P(A)>0` ，称 :math:`P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}` 为在条件 :math:`A` 下事件 :math:`B` 的发生概率

事件独立性:
   设事件 :math:`A,B` 满足等式 :math:`P(AB)=P(A)P(B)` ，则称事件 :math:`A,B` 互相独立

   - :math:`A,B` 相互独立的充要条件是 :math:`A,\overline{B}` 、 :math:`\overline{A},B` 、 :math:`\overline{A},\overline{B}` 相互独立
   - 当 :math:`0<P(A)<1` 时， :math:`A,B` 独立等价于 :math:`P(B|A)=P(B)` 或 :math:`P(B|A)=P(B|\overline{A})` 成立
   - 若多个事件相互独立，则事件必两两独立。反之则不成立
   - 多个事件相互独立时，它们的部分事件也相互独立

五大公式:
   - 加法公式： :math:`P(A\cup V)=P(A+P(B)-P(AB)，P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)`
   - 减法公式： :math:`P(A-B)=P(A)-P(B)`
   - 乘法公式：

     - 当 :math:`P(A)>0` 时， :math:`P(AB)=P(A)P(B|A)`
     - 当 :math:`P(A_1A_2\cdots A_{n-1})>0` 时， :math:`P(A_1A_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)\cdots P(A_n|A_1A_2\cdots A_{n-1})`

   - 全概率公式： 设 :math:`B_1,B_2,\cdots,B_n` 满足 :math:`\bigcup\limits^{n}_{i=1}B_i=\Omega,B_iB_j=\varnothing(i\neq j)` 且 :math:`P(B_k)>0(k=1,2,\cdots ,n)` 则对于任意事件有 :math:`P(A)=\sum\limits_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)` 。称满足 :math:`\bigcup\limits^{n}_{i=1}B_i=\varnothing, B_iB_j=\varnothing(i\neq j)` 的 :math:`B_1,B_2,\cdots,B_n` 为 :math:`\Omega` 的一个完备事件组
   - 贝叶斯公式：设 :math:`B_1,B_2,\cdots,B_n` 为 :math:`\Omega` 的一个完备事件组，且 :math:`P(A)>0,P(B_k)>0(k=1,2,\cdots,n)` 则 :math:`P(B_j|A)=\frac{P(B_jP(A|B_j))}{\sum\limits_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)}, j=1,2,\cdots ,n`

古典概型和伯努利概型
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古典概型:
   事件结果有限，且每个结果的可能性相同，则事件 :math:`A` 的概率为 :math:`P(A)=\frac{\text{A 包含的样本总数}}{\text{样本点总数}}`

几何概型

伯努利概型:
   实验结果只有 :math:`A,\overline{A}` ，且同一事件在所有实验中概率相同，将实验结果进行 :math:`n` 次，事件 :math:`A` 发生 :math:`k` 次的可能性为 :math:`C^k_nP^k(1-p)^{n-k},k=0,1,2,\cdots,n`