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多维随机变量及其分布
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二维随机变量及其分布
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二维随机变量:
   设 :math:`X=X(\omega), Y=Y(\omega)` 是定义在样本空间 :math:`\Omega` 上的两个随机变量，则称向量 :math:`(X,Y)` 为二维随机变量，或随机变量

二维随机变量 :math:`(X,Y)` 的分布:
   :math:`F(x,y)=P\{X\leq x,Y\leq y\},-\infty<x<+\infty,-\infty<y<+\infty`

二维随机变量的边缘分布:
   二维随机变量 :math:`(X,Y)` 的分布函数为 :math:`F(x,y)` ，分别称 :math:`F_x(x)=P\{X\leq x\},F_y(y=P\{Y\leq y\}` 为 :math:`(X,Y)` 关于 :math:`X,Y` 的边缘分布

   .. note::

      :math:`F_x(x)=\lim\limits_{y\to +\infty}F(x,y)`

二维随机变量的条件分布:
   如果对于任意给定的 :math:`\epsilon>0,  P\{y-\epsilon\leq y+\epsilon\}>0` 有 :math:`\lim\limits_{\epsilon\to o^+}P\{X\leq x|y-\epsilon<Y\leq y+\epsilon\}=\lim\limits_{\epsilon\to 0^+}\frac{P\{X\leq x,y-\epsilon <Y\leq y+\epsilon\}}{P\{y-\epsilon <Y\leq y+\epsilon\}}` 存在，则称此极限为在条件 :math:`Y=y` 下 :math:`X` 的条件分布，记作 :math:`F_{X|Y}(x|y)` 或 :math:`P\{X\leq x|Y=y\}` 。类似的可以定义 :math:`F_{Y|X}(y|x)`

二维离散型随机变量:
   二维随机变量 :math:`(X,Y)` 可能取值为有限个或可数无穷个 :math:`(x_i,y_i)， i,j=1,2,\cdots,` 则称 :math:`(X,Y)` 为二维离散型随机变量

二维离散型随机变量的概率分布:
   二维离散型随机变量 :math:`(X,Y)` 的可能取值为 :math:`(x,y),(i,j=1,2,\cdots)` 称 :math:`P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij},i,j=1,2,\cdots` 为二维离散型随机变量 :math:`(X,Y)` 的概率分布或分布律

二维离散型随机变量的边缘分布:
   :math:`p_{i\cdot}=P\{X=x_i\},i=1,2,\cdots` 和 :math:`p_{\cdot j}=P\{Y=y_i\},i=1,2,\cdots` 分别被称为 :math:`(X,Y)` 关于 :math:`X,Y` 的边缘分布

二维离散型随机变量的条件分布:
   对给定的 :math:`j` ，如果 :math:`P\{Y=y_i\}>0,j=1,2,\cdots` 则称 :math:`P\{X=x_i|Y=y_i\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_i\}}{P\{Y=y_i\}}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}, i=1,2,\cdots` 为在 :math:`Y=y_i` 条件下随机变量 :math:`X` 的条件分布

二维连续型随机变量及其概率密度:
   如果对随机变量 :math:`(X,Y)` 的分布 :math:`F(x,y)` 存在非负函数 :math:`f(x,y)` ，使得对于任意实数 :math:`x,y` 都有 :math:`F(x,y)=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf(u,v)dudv,-\infty<x,y<+\infty` 则称 :math:`(X,Y)` 为二维连续型随机变量，函数 :math:`f(x,y)` 称为 :math:`(X,Y)` 的概率密度

   对于连续型随机变量 :math:`(X,Y)` ，设它的概率密度为 :math:`f(x,y)` ，由 :math:`F(x,+\infty)=\int_{-\infty}^x[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy]dx` 知道， :math:`X` 也是一个连续型变量，且其概率密度为 :math:`f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy`

二维连续型随机变量的边缘密度:
   定义 :math:`f_X(x)=\int_{-infty}^{+\infty}f(x,y)dy 和 f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx` 被分别称为 :math:`(X,Y)` 关于 :math:`X,Y` 的边缘密度

二维连续型随机变量的条件密度:
   设 :math:`f(x,y)` 在点 :math:`(x,y)` 连续， :math:`f_Y(y)` 连续且 :math:`f_Y(y)>0` ，则条件分布 :math:`F_{X|Y}(x|y)=\int_{-\infty}^x\frac{f(s,y)}{f_Y(y)}ds` 其中 :math:`\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}` 被称为在条件 :math:`Y=y` 下的条件密度，记作 :math:`f_{X|Y}(x|y)` ，即 :math:`f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)},f_Y(y)>0` ，类似可定义，当 :math:`f_X(x)>0` 时， :math:`f_{X|Y}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}`  和 :math:`F_{Y|X}(y|x)=\int_{-\infty}^y=\frac{f(x,s)}{f_X(x)}ds`

:math:`F(x,y)` 的性质:
   - 对于任意 :math:`x,y` ，均有 :math:`0\leq F(x,y)\leq 1`
   - :math:`F(-\infty,y)=F(x,-\infty)=F(-\infty,-\infty)=0,F(+\infty,+\infty)=1`
   - :math:`F(x,y)` 关于 :math:`x,y` 均单调不减
   - :math:`F(x,y)` 关于 :math:`x,y` 是右连续的
   - :math:`P\{a<X\leq b,c<Y\leq d\}=F(b,d)-F(b,c)-F(a,d)+F(a,c)`

:math:`P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij}` 的性质:
   - :math:`p_{ij}\ge 0, i,j=1,2,\cdots`
   - :math:`\sum\limits_{i}\sum\limits_{j}p_{ij}=1`

:math:`f(x,y)` 的性质:
   - :math:`f(x,y)\ge 0`
   - :math:`\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=1`
   - 随机变量 :math:`(X,Y)` 落在区域 :math:`D` 内的概率 :math:`P\{(X,Y)\in D\}=\iint\limits_D f(x,y)dxdy`

随机变量的独立性
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随机变量的独立性:
   如果对于任意 :math:`x,y` 都有 :math:`P\{X\leq x,Y\leq y\}=P\{X\leq x\}P\{Y\leq y\}, F(x,y)=F_x(x)F_Y(y)` ，则称随机变量 :math:`X,Y` 相互独立

随机变量相互独立的充要条件:
   - 离散性随机变量 :math:`X,Y` 相互独立的充要条件：对于任意 :math:`i,j=1,2,\cdots` 成立 :math:`P\{X=x_i,Y=y_i\}=P\{X=x_i\}P\{Y=y_i\},p_{ij}=p_{i\cdot}p_{\cdot j}`
   - 连续型随机变量 :math:`X,Y` 相互独立的充要条件：对于任意 :math:`x,y` 成立 :math:`f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)`

二维均匀分布和二维正态分布
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二维均匀分布:
   如果二维连续型随机变量 :math:`(X,Y)` 的概率密度为

   .. math::

      f(x,y)=
      \left\{\begin{array}{lc}
          \frac{1}{A}, &(x,y)\in G\\
          0, &\text{其他}
      \end{array}\right.

   其中 :math:`A` 是平面有界区域 :math:`G` 的面积，则称 :math:`(X,Y)` 服从区域 :math:`G` 上的均与分布

二维正态分布:
   如果二维连续型随机变量 :math:`(X,Y)` 的概率密度为 :math:`f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}exp\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-\frac{2\rho(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}]\}, -\infty<x<+\infty,-\infty<y<+\infty`

   其中 :math:`\mu_1.\mu_2,\sigma_1>0,-1<\rho<1` 均为常数，则称 :math:`(X,Y)` 服从参数为 :math:`\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\rho` 的二维正态分布，记作 :math:`(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho)`

性质:
   - 设 :math:`(X,Y)` 在 :math:`G` 上服从均匀分布， :math:`D` 是 :math:`G` 中的一个部分区域，记它们的面积分别为 :math:`S_D` 和 :math:`S_G` ，则 :math:`P\{(X,Y)\in D\}=\frac{S_D}{S_G}`
      如果设 :math:`(X,Y)` 的概率密度为 :math:`f(x,y)` ，显然

      .. math::

         f(x,y)=
         \left\{\begin{array}{lc}
            \frac{1}{S_G}, &(x,y)\in G,\\
            0, &\text{其他}
         \end{array}\right.

      而 :math:`P\{(X,Y)\in D\}=\iint\limits_D f(x,y)dxdy=\iint\limits_D\frac{1}{S_G}dxdy=\frac{S_D}{S_G}`

   - 对于正太分布要求不加证明的记住下述性质:
      - :math:`(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho)` 时， :math:`X,Y` 均服从一维正态
      - :math:`(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho)` 时， :math:`X,Y` 相互独立的充要条件是 :math:`\rho=0`
      - :math:`(X,Y)` 服从二维正态时，行列式 :math:`\left|\begin{array}{ll}a&b\\c&d\end{array}\right|\neq 0,(aX+bY,cX+dY)` 也服从二维正态，当然 :math:`aX+bY` 服从一维正态
      - 如果 :math:`X,Y` 均服从一维正态，且相互独立，就是指 :math:`(X,Y)` 服从二维正态，且 :math:`\rho=0`

两个随机变量函数 :math:`Z=g(X,Y)` 的分布
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若 :math:`X,Y` 均为离散型随机变量， :math:`Z` 的分布率求法与一维离散型类似
若 :math:`X,Y` 均为连续型随机变量， :math:`F_z(z)` 的求法请参照 P496